题目内容
已知函数f(x)的定义域为［0，1］，且同时满足：①f(1)=3;②f(x)≥2恒成立；③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)-2.（1）试求函数f(x)的最大值和最小值；
（2）试比较f(
n)与
n+2的大小(n∈N)；
（3）某人发现：当x=
n(n∈N)时，有f(x)＜2x+2.由此他提出猜想：对一切x∈(0,1］,都有f(x)＜2x+2,请你判断此猜想是否正确，并说明理由.
解：(1)设0≤x1＜x2≤1,则必存在实数t∈(0,1),使得x2=x1+t,
由条件③得,f(x2)=f(x1+t)≥f(x1)+f(t)-2,
∴f(x2)-f(x1)≥f(t)-2,由条件②得,f(x2)-f(x1)≥0,故当0≤x≤1时,有f(0)≤f(x)≤f(1).
又在条件③中,令x1=0,x2=1,得f(1)≥f(1)+f(0)-2,即f(0)≤2,∴f(0)=2,故函数f(x)的最大值为3,最小值为2.
(2)在条件③中,令x1=x2=,得f()≥2f(n)-2,即f(
)-2≤
[f(
)-2],
故当n∈N*时，有f(
)-2≤
[f(
)-2]≤
[f(
)-2]≤…≤
[f(
)-2]= 
,
即f(
)≤
+2.
又f(
)=f(1)=3≤2+
,
所以对一切n∈N,都有f(
)≤
+2.
(3)对一切x∈(0,1),都有f(x)＜2x+2.
对任意满足x∈(0,1)，总存在n(n∈N),使得
＜x≤
,
根据（1）（2）结论，可知：f(x)≤f(
)≤
+2,且2x+2＞2×
+2=
+2,
故有f(x)＜2x+2.综上所述，对任意x∈(0,1),f(x)＜2x+2恒成立.
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