题目内容

设D是函数y=f(x)定义域内的一个区间,若存在x∈D,使f(x)=x,则称x是f(x)的一个不动点,也称f(x)在区间D上有不动点.
(1)证明f(x)=2x-2x-3在区间(1,4)上有不动点;
(2)若函数在区间[1,4]上有不动点,求常数a的取值范围.
【答案】分析:(1)根据“f(x)在区间D上有不动点”当且仅当“F(x)=f(x)-x在区间D上有零点”,令F(x)=f(x)-x=2x-3x-3在区间[1,4]上是一条连续不断的曲线,利用F(1)•F(4)<0可确定函数F(x)=f(x)-x在区间(1,4)内有零点,从而得到结论;
(2)依题意,存在x∈[1,4],使,讨论将a分离出来,利用导数研究出等式另一侧函数的取值范围即可求出a的范围.
解答:解:(1)依题意,“f(x)在区间D上有不动点”当且仅当“F(x)=f(x)-x在区间D上有零点”(2分),
F(x)=f(x)-x=2x-3x-3在区间[1,4]上是一条连续不断的曲线(3分),
F(1)•F(4)=-4×1<0(4分),
所以函数F(x)=f(x)-x在区间(1,4)内有零点,f(x)=2x-2x-3在区间(1,4)上有不动点(5分).
(2)依题意,存在x∈[1,4],使
当x=1时,使(6分);
当x≠1时,解得(8分),
(9分),
得x=2或,舍去)(10分),
x(1,2)2(2,4)
a′+-
a最大值
(12分),当x=2时,(13分),
所以常数a的取值范围是(14分).
点评:本题主要考查了函数与方程的综合运用,以及函数零点和利用导数研究最值等有关知识,属于中档题.
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