题目内容
设D是函数y=f(x)定义域内的一个区间,若存在x∈D,使f(x)=x,则称x是f(x)的一个不动点,也称f(x)在区间D上有不动点.(1)证明f(x)=2x-2x-3在区间(1,4)上有不动点;
(2)若函数

【答案】分析:(1)根据“f(x)在区间D上有不动点”当且仅当“F(x)=f(x)-x在区间D上有零点”,令F(x)=f(x)-x=2x-3x-3在区间[1,4]上是一条连续不断的曲线,利用F(1)•F(4)<0可确定函数F(x)=f(x)-x在区间(1,4)内有零点,从而得到结论;
(2)依题意,存在x∈[1,4],使
,讨论将a分离出来,利用导数研究出等式另一侧函数的取值范围即可求出a的范围.
解答:解:(1)依题意,“f(x)在区间D上有不动点”当且仅当“F(x)=f(x)-x在区间D上有零点”(2分),
F(x)=f(x)-x=2x-3x-3在区间[1,4]上是一条连续不断的曲线(3分),
F(1)•F(4)=-4×1<0(4分),
所以函数F(x)=f(x)-x在区间(1,4)内有零点,f(x)=2x-2x-3在区间(1,4)上有不动点(5分).
(2)依题意,存在x∈[1,4],使
当x=1时,使
(6分);
当x≠1时,解得
(8分),
由
(9分),
得x=2或
(
,舍去)(10分),
(12分),当x=2时,
(13分),
所以常数a的取值范围是
(14分).
点评:本题主要考查了函数与方程的综合运用,以及函数零点和利用导数研究最值等有关知识,属于中档题.
(2)依题意,存在x∈[1,4],使

解答:解:(1)依题意,“f(x)在区间D上有不动点”当且仅当“F(x)=f(x)-x在区间D上有零点”(2分),
F(x)=f(x)-x=2x-3x-3在区间[1,4]上是一条连续不断的曲线(3分),
F(1)•F(4)=-4×1<0(4分),
所以函数F(x)=f(x)-x在区间(1,4)内有零点,f(x)=2x-2x-3在区间(1,4)上有不动点(5分).
(2)依题意,存在x∈[1,4],使

当x=1时,使

当x≠1时,解得

由

得x=2或


x | (1,2) | 2 | (2,4) |
a′ | + | - | |
a | ↗ | 最大值 | ↘ |

所以常数a的取值范围是

点评:本题主要考查了函数与方程的综合运用,以及函数零点和利用导数研究最值等有关知识,属于中档题.

练习册系列答案
相关题目