Question

设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x₀∈D，使f（x₀）=x₀，则称x₀是f（x）的一个不动点，也称f（x）在区间D上有不动点．
（1）证明f（x）=2^x-2x-3在区间（1，4）上有不动点；
（2）若函数f(x)=ax2-x-a+

5

2

在区间[1，4]上有不动点，求常数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据“f（x）在区间D上有不动点”当且仅当“F（x）=f（x）-x在区间D上有零点”，令F（x）=f（x）-x=2^x-3x-3在区间[1，4]上是一条连续不断的曲线，利用F（1）•F（4）＜0可确定函数F（x）=f（x）-x在区间（1，4）内有零点，从而得到结论；
（2）依题意，存在x∈[1，4]，使F(x)=f(x)-x=ax2-2x-a+

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2

=0，讨论将a分离出来，利用导数研究出等式另一侧函数的取值范围即可求出a的范围．

解答：解：（1）依题意，“f（x）在区间D上有不动点”当且仅当“F（x）=f（x）-x在区间D上有零点”（2分），
F（x）=f（x）-x=2^x-3x-3在区间[1，4]上是一条连续不断的曲线（3分），
F（1）•F（4）=-4×1＜0（4分），
所以函数F（x）=f（x）-x在区间（1，4）内有零点，f（x）=2^x-2x-3在区间（1，4）上有不动点（5分）．
（2）依题意，存在x∈[1，4]，使F(x)=f(x)-x=ax2-2x-a+

5

2

=0
当x=1时，使F(1)=

1

2

≠0（6分）；
当x≠1时，解得a=

4x-5

2(x2-1)

（8分），
由a′=

-2x2+5x-2

(x2-1)2

=0（9分），
得x=2或x=

1

2

（

1

2

＜1，舍去）（10分），

x	（1，2）	2	（2，4）
a′	+	0	-
a	↗	最大值	↘

（12分），当x=2时，a最大=

4x-5

2(x2-1)

=

1

2

（13分），
所以常数a的取值范围是(-∞，

1

2

]（14分）．

点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及函数零点和利用导数研究最值等有关知识，属于中档题．