题目内容

设集合 $数学公式$ ， $数学公式$ ，又设函数f（x）=2x²+mx-1．
（1）若不等式f（x）≤0的解集为C，且C⊆（A∪B），求实数m的取值范围．
（2）若对任意x∈R，有f（1-x）=f（1+x）成立，试求当x∈（A∩B）时，函数f（x）的值域．
（3）当m∈（A∪B），x∈（A∩B）时，求证： $数学公式$ ．

解：（1）由题意， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴A∪B=[-1，1]
要使C⊆（A∪B），则 $\text{[math]}$
∴实数m的取值范围是m≥-1．
（2） $\text{[math]}$
∵对任意x∈R，有f（1-x）=f（1+x）成立，
∴函数的对称轴为x=1
∴m=-4
∴f（x）=2x²-4x-1=2（x-1）²-3．
∵x∈（A∩B），
∴函数f（x）的值域为 $\text{[math]}$ ．
（3）m∈[-1，1]，x∈ $\text{[math]}$
∴f（x）的最小值为-1，最大值在端点处取得
∵ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）先分别化简集合A，B，可求A∪B=[-1，1]，要使C⊆（A∪B），则 $\text{[math]}$ ，故得解；
（2）先求得） $\text{[math]}$ ，由于对任意x∈R，有f（1-x）=f（1+x）成立，可知函数的对称轴为x=1，从而可确定函数f（x）=2x²-4x-1=2（x-1）²-3．，进而可求函数f（x）的值域．
（3）m∈[-1，1]，x∈ $\text{[math]}$ ，从而f（x）的最小值为-1，最大值在端点处取得，故可证．
点评：本题以集合为载体，考查函数值域，考查函数的最值，关键是集合的化简．