题目内容
(2012•怀化二模)设x1,x2(x1≠x2)是函数f(x)=ax3+bx2-a2x(a>0)的两个极值点.
(1)若x1=-1,x2=2,求函数f(x)的解析式;
(2)若|x1|+|x2|=2
,求b的最大值.
(3)若x1<x<x2,且x2=a,g(x)=f'(x)-a(x-x1),求证:|g(x)|≤
.
(1)若x1=-1,x2=2,求函数f(x)的解析式;
(2)若|x1|+|x2|=2
2 |
(3)若x1<x<x2,且x2=a,g(x)=f'(x)-a(x-x1),求证:|g(x)|≤
a(3a+2)2 |
12 |
分析:(1)求导函数,根据x1=-1,x2=2是函数f(x)的两个极值点,即可求得函数f(x)的解析式;
(2)根据x1,x2是函数f(x)的两个极值点,可知x1,x2是方程3ax2+2bx-a2=0的两根,从而x1+x2=-
,x1•x2=-
,利用|x1|+|x2|=2
,可得b2=3a2(6-a),令h(a)=3a2(6-a),利用导数,即可求得b的最大值;
(3)根据x1,x2是方程3ax2+2bx-a2=0的两根,可得f'(x)=3a(x-x1)(x-x2),根据x1•x2=-
,x2=a,可得x1=-
,进而有g(x)=a(x+
)(-3x+3a+1)=-3a(x+
)(x-
),利用配方法即可得出结论.
(2)根据x1,x2是函数f(x)的两个极值点,可知x1,x2是方程3ax2+2bx-a2=0的两根,从而x1+x2=-
2b |
3a |
a |
3 |
2 |
(3)根据x1,x2是方程3ax2+2bx-a2=0的两根,可得f'(x)=3a(x-x1)(x-x2),根据x1•x2=-
a |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
3a+1 |
3 |
解答:解:(1)求导函数,可得f′(x)=3ax2+2bx-a2,
∵x1=-1,x2=2是函数f(x)的两个极值点,
∴f'(-1)=0,f'(2)=0,
∴3a-2b-a2=0,12a+4b-a2=0,
解得a=6,b=-9.
∴f(x)=6x3-9x2-36x.-------------------(4分)
(2)∵x1,x2是函数f(x)的两个极值点,∴f'(x1)=f'(x2)=0.
∴x1,x2是方程3ax2+2bx-a2=0的两根,故有△=4b2+12a3>0对一切a>0,b∈R恒成立.
∴x1+x2=-
,x1•x2=-
,
∵a>0,∴x1•x2<0,
∴|x1|+|x2|=|x1-x2|=
=
-------------------(6分)
由|x1|+|x2|=2
得
=2
,
∴b2=3a2(6-a).
∵b2≥0,∴3a2(6-a)≥0,∴0<a≤6.
令h(a)=3a2(6-a),则h′(a)=36a-9a2.
当0<a<4时,h′(a)>0,∴h(a)在(0,4)内是增函数;
当4<a<6时,h′(a)<0,∴h(a)在(0,4)内是减函数;
∴当a=4时,h(a)是极大值为96,
∴h(a)在(0,6)上的最大值是96,∴b的最大值是4
.…(8分)
(3)∵x1,x2是方程3ax2+2bx-a2=0的两根.∴f'(x)=3a(x-x1)(x-x2)
∵x1•x2=-
,x2=a,∴x1=-
∴|g(x)|=|3a(x+
)(x-a)-a(x+
)|=|a(x+
)[3(x-a)-1]|…(10分)
∵x1<x<x2,
∴g(x)=a(x+
)(-3x+3a+1)═-3a(x+
)(x-
)
=-3a(x-
)2+
+a2+
a≤
+a2+
a=
∵x1=-1,x2=2是函数f(x)的两个极值点,
∴f'(-1)=0,f'(2)=0,
∴3a-2b-a2=0,12a+4b-a2=0,
解得a=6,b=-9.
∴f(x)=6x3-9x2-36x.-------------------(4分)
(2)∵x1,x2是函数f(x)的两个极值点,∴f'(x1)=f'(x2)=0.
∴x1,x2是方程3ax2+2bx-a2=0的两根,故有△=4b2+12a3>0对一切a>0,b∈R恒成立.
∴x1+x2=-
2b |
3a |
a |
3 |
∵a>0,∴x1•x2<0,
∴|x1|+|x2|=|x1-x2|=
(-
|
|
由|x1|+|x2|=2
2 |
|
2 |
∴b2=3a2(6-a).
∵b2≥0,∴3a2(6-a)≥0,∴0<a≤6.
令h(a)=3a2(6-a),则h′(a)=36a-9a2.
当0<a<4时,h′(a)>0,∴h(a)在(0,4)内是增函数;
当4<a<6时,h′(a)<0,∴h(a)在(0,4)内是减函数;
∴当a=4时,h(a)是极大值为96,
∴h(a)在(0,6)上的最大值是96,∴b的最大值是4
6 |
(3)∵x1,x2是方程3ax2+2bx-a2=0的两根.∴f'(x)=3a(x-x1)(x-x2)
∵x1•x2=-
a |
3 |
1 |
3 |
∴|g(x)|=|3a(x+
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
∵x1<x<x2,
∴g(x)=a(x+
1 |
3 |
1 |
3 |
3a+1 |
3 |
=-3a(x-
a |
2 |
3a3 |
4 |
1 |
3 |
3a3 |
4 |
1 |
3 |
a(3a+2)2 |
12 |
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的极值、单调性,考查不等式的证明,正确求导,理解极值的意义是解题的关键.
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