Question

将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是

1

2

．
（1）求小球落入A袋中的概率P（A）；
（2）在容器入口处依次放入4个小球，记 ξ为落入A袋中的小球个数，试求ξ=3的概率和ξ的数学期望 Eξ；
（3）如果规定在容器入口处放入1个小球，若小球落入A袋奖10 元，若小球落入B袋罚4元，试求所得奖金数η的分布列和数学期望，并回答你是否参加这个游戏？

Answer 1

分析：（1）设小球落入B袋中的概率P（B），小球落入A袋中的概率P（A）；先计算小球落入B袋中的概率，只有小球一直向左或一直向右，才能落入B袋中，可得P（B）=(

1

2

)3+(

1

2

)3=

1

4

．小球要么落入A袋，要么落入B袋，故此两个事件是对立事件，利用P（A）=1-P（B）即可得出．
（2）由题意可知：ξ～B（4，

3

4

），利用二项分布列的概率计算公式及其数学期望计算公式即可得出．
（3）由（1）可知：P（η=10）=

3

4

，P（η=-4）=

1

4

，即可得到η的分布列和数学期望．

解答：解：（1）设小球落入B袋中的概率P（B），小球落入A袋中的概率P（A）；
只有小球一直向左或一直向右，才能落入B袋中，故P（B）=(

1

2

)3+(

1

2

)3=

1

4

，
而事件“小球落入A袋”与“小球落入B袋”是对立事件．
故P（A）=1-P（B）=

3

4

．
（2）由题意可知：ξ～B（4，

3

4

），∴P（ξ=3）=

C

3 4

(

3

4

)3×(1-

3

4

)=

27

64

．
Eξ=4×

3

4

=3．
（3）由（1）可知：P（η=10）=

3

4

，P（η=-4）=

1

4

，可得η的分布列

η	10	-4
P（η）	3 4	1 4

∴Eη=10×

3

4

+(-4)×

1

4

=6.5．
由于6.5＞0，因此可以参加这个游戏．

点评：本题考查了相互独立事件和互斥事件的概率计算公式、二项分布列及其数学期望等基础知识与基本技能方法，属于难题．