Question

(理)已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆O相切．（1）求椭圆C₁的方程；（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；（3）设C_­2与x轴交于点Q，不同的两点R、S在C₂上，且 满足， 求的取值范围．

Answer 1

  （1）（2）（3）

解析:

：（1）由  （2分）

    由直线

所以椭圆的方程是  （4分）

（2）由条件，知|MF₂|=|MP|．即动点M到定点F₂的距离等于它到直线的距离，由抛物线的定义得点M的轨迹C₂的方程是． （8分）

（3）由（2），知．设

所以当

故的取值范围是．  （14分）