题目内容
某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得10万元到1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金(单位:万元)随投资收益
(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过9万元,同时奖金不超过投资收益的20%.
(1)若建立函数模型制定奖励方案,试用数学语言表述该公司对奖励函数
模型的基本要求,并分析函数
是否符合这个要求,并说明原因;
(2)若该公司采用函数作为奖励函数模型,试确定最小的正整数
的值.
(1)① 是定义域
上是增函数;②
恒成立;③
恒成立.不符合公司要求.(2)
.
解析试题分析:(1)要将文字语言转化为数学语言主要依据是相应概念的理解,由奖金(单位:万元)随投资收益
(单位:万元)的增加而增加,可联想到函数增减性的定义;由奖金不超过9万元,可联想到函数的值域;由奖金不超过投资收益的20%,收益就是题中的
值,即可用
来表示,判断给定函数是否符合题意其实也就是去遂一进行检验;(2)所给函数是一个分式型函数,先采用分子分离的方法化简一下,以便出增函数得出一个关于
的不等式,结合单调增易得最大值,由其小于等于9得到关于
的第二个条件,再由
代入可得一不等式恒成立,进而得到关于
的第三个条件,这三条件共同确定出
的范围.
试题解析:(1)设奖励函数模型为,按公司对函数模型的基本要求,函数
满足:当
时,
① 是定义域
上是增函数;
② 恒成立
③ 恒成立. 3分
对于函数模型,当
时,
是增函数;
,∴
恒成立;
但当时,
,即
不恒成立.
综上,该函数模型不符合公司要求. 6分
(2)对于函数模型,即
,
① 当,即
时,
在
上是增函数; 8分
② 为使对在
恒成立,则
,即
; 10分
③ 为使对在
恒成立,则
,
即,即
对
恒成立,
12分
综上,,又
,∴
. 14分
考点:1.文字语言与数学语言的互化;2.函数的单调性;3.函数的值域
