Question

18．三棱锥P-ABC中，已知∠APC=∠BPC=∠APB=$\frac{π}{3}$，点M是△ABC的重心，且$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PA}$=9．则|$\overrightarrow{PM}$|的最小值为2．

Answer 1

分析 为书写方便，先设$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{c}$，根据条件即可得到$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$+$|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|$+$|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}|$=18，连接CM，延长之后交AB的中点D，连接PD，根据向量加法的几何意义及重心的性质便可得到$\overrightarrow{PM}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）$，从而$|\overrightarrow{PM}|=\frac{1}{3}|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|$，求$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}{|}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+18$，由基本不等式可得到${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}≥18$，从而可得到$|\overrightarrow{PM}|≥2$，这样即求出了$|\overrightarrow{PM}|$的最小值．

解答 解：设$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{b}，\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{c}$；
∴根据已知条件，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}$=$\frac{1}{2}（|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|+|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}|）=9$；
∴$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|+|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}|=18$；
如图，连接CM并延长，交AB于D，则D为AB中点；

∴$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{PC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{PC}+\frac{2}{3}（\overrightarrow{PD}-\overrightarrow{PC}）$=$\overrightarrow{PC}+\frac{2}{3}[\frac{1}{2}（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）]-\frac{2}{3}\overrightarrow{PC}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）$；
∴$|\overrightarrow{PM}|=\frac{1}{3}|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|$；
$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}{|}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}+2\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+18$；
${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}≥2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$，${\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}≥2|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|$，${\overrightarrow{c}}^{2}+{\overrightarrow{a}}^{2}≥2|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}|$；
∴$2（{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}）≥$$2（|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|+|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}|）=36$；
∴${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}≥18$；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}{|}^{2}≥36$；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|≥6$；
∴$|\overrightarrow{PM}|≥2$；
∴$|\overrightarrow{PM}|$的最小值为2．
故答案为：2．

点评 考查向量数量积的计算公式，向量加法、数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，重心的性质：重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍，以及基本不等式的应用．