Question

已知点A=(3，

3

)，点O是坐标原点，点P（x，y）的坐标满足

3 x-y≤0 x- 3 y+2≥0 y≥0

，则z=

OA • OP

| OA |

的最大值是（　　）

• A．

  3

• B．6
• C．

  3

  3

• D．

  1

  6

Answer 1

分析：做出满足条件足

3 x-y≤0 x- 3 y+2≥0 y≥0.

的可行域，根据平面向量数量积的几何意义，可得目标函数

OA • OP

| OA |

表示

OP

在

OA

上的投影，过P作

OA

的垂线PH，垂足为H，易得当P在可行域内移动到直线

3

x-y=0和直线x-

3

y+2=0的交点时，目标函数有最大值．

解答：解：作出可行域如图，则

OA • OP

| OA |

=|

OP

|cos∠AOP，
又∠AOP是

OA

与

OP

的夹角，
∴目标函数

OA • OP

| OA |

表示

OP

在

OA

上的投影，
过P作

OA

的垂线PH，垂足为H，
当P在可行域内移动到直线

3

x-y=0和直线x-

3

y+2=0的交点B(1，

3

)时，

OP

在

OA

上的投影为|

OH

|最大，此时|

OP

|=|

OB

|=2，∠AOP=∠AOB=

π

6

，
∴

OA • OP

| OA |

的最大值为|

OB

|cos∠AOB=2cos

π

6

=

3

故选A．

点评：本题考查简单线性规划，求解此类问题的关键是正确作图，熟练掌握目标函数最值的判断方法，判断目标函数的最值是本部分中的难点，也是易错点．