Question

我市某大学组建了A、B、C、D、E五个不同的社团组织，为培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加且只能参加一个社团，假定某寝室的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的．   
（1）求甲、乙、丙三名学生中至少有两人参加同一社团的概率；
（2）设随机变量ξ为甲、乙、丙这三个学生参加A或B社团的人数，求ξ的分布列与数学期望．

Answer 1

分析：（1）每个学生参加社团，有5种选法，由分步乘法原理即可求解，“甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生参加同一社团”的对立事件为“三名学生选择三个不同社团”，利用对立事件的概率关系求解．
（2）ξ的所有可能取值为：0，1，2，3，利用古典概型分别求概率，列出分布列求期望即可．

解答：解：（1）甲、乙、丙三名学生每人选择五个社团的方法数是5种，故共有5×5×5=125（种）．
三名学生选择三门不同社团的概率为：

A 3 5

53

=

12

25

．
∴三名学生中至少有两人选修同一社团的概率为：1-

12

25

=

13

25

．
（2）由题意：ξ=0，1，2，3
甲、乙、丙这三个学生每人参加A或B社团的概率都是

2

5

，所以ξ～B(3，

2

5

)…（10分）
P（ξ=0）=

C

0 3

×(

3

5

)3=

27

125

；P（ξ=1）=

C

1 3

×(

3

5

)2×

2

5

=

54

125

；
P（ξ=2）=

C

2 3

×(

2

5

)2×

3

5

=

36

125

；P（ξ=3）=

C

3 3

×(

2

5

)3=

8

125

；
ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	27 125	54 125	36 125	8 125

数学期望Eξ=1×

54

125

+2×

36

125

+3×

8

125

=

6

5

…（12分）

点评：本题考查计数原理、古典概型、及离散型随机变量的分布列和期望，难度不大．