题目内容

（文科做）已知等差数列{a_n}{和正项等比数列{b_n}，a₁=b₁=1，a₃=b₃=2．
（1）求a_n，b_n；
（2）设 $数学公式$ ，求数列{c_n}的前n项和S_n；
（3）设{a_n}的前n项和为T_n，是否存在常数P、c，使a_n=p+log₂（T_n+c）恒成立？若存在，求P、c的值；若不存在，说明理由．

解：（1）由a₃=a₁+2d，得d= $\text{[math]}$ -------（1分）
由b₃=b₁q²且q＞0得q= $\text{[math]}$ ----（2分）
所以a_n=a₁+（n-1）d= $\text{[math]}$ ，b_n=b₁q^n-1= $\text{[math]}$ -------（4分）
（2）因为c_n=（n+1）2^n-2--------------------------（5分）
故 $\text{[math]}$ -----------------①
$\text{[math]}$ ---------------------------②
所以①-②得： $\text{[math]}$ --------------------------（7分）
所以 $\text{[math]}$ --------------------------（9分）
（3） $\text{[math]}$ -------（10分），
a_n=p+log₂（T_n+c）恒成立，
则当n=1，n=3时，有 $\text{[math]}$ -----（12分），
解得c= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ -------（13分）
p+log₂（T_n+c）=log₂（2- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ------（15分）
所以，当c= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，a_n=p+log₂（T_n+c）恒成立-------（16分）
分析：（1）由a₃=a₁+2d，得d= $\text{[math]}$ ，由b₃=b₁q²且q＞0得q= $\text{[math]}$ ，从而可求a_n，b_n；
（2）因为c_n=（n+1）2^n-2，再利用错位相减法可求数列{c_n}的前n项和S_n；
（3） $\text{[math]}$ ，令n=1，n=3，求得c= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，再验证下即可．
点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列通项的求解，考查错位相减法求和，解题的关键是确定数列的通项．