题目内容
10.已知函数f(x)=4x3+ax2+bx+5的图象在x=1处的切线方程为y=-12x,且f(1)=-12,(1)求函数f(x)的解析式和单调区间.
(2)求函数f(x)在[-3,1]上的最值.
分析 (1)根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数,从而得到切线的斜率,建立等式关系,再根据切点在函数图象建立等式关系,解方程组即可求出a和b,从而得到函数f(x)的解析式;令f′(x)>0和令f′(x)<0,即可求出函数f(x)的单调区间
(2)先求出f′(x)=0的值,根据极值与最值的求解方法,将f(x)的各极值与其端点的函数值比较,其中最大的一个就是最大值,最小的一个就是最小值.
解答 解:(1)f′(x)=12x2+2ax+b,f′(1)=12+2a+b=-12.①
又x=1,y=-12在f(x)的图象上,
∴4+a+b+5=-12.②
由①②得a=-3,b=-18,
∴f(x)=4x3-3x2-18x+5.
f′(x)=12x2-6x-18,
令f′(x)<0,得:12x2-6x-18<0,
可得-1<x<$\frac{3}{2}$,
∴函数f(x)的单调减区间为(-1,$\frac{3}{2}$),
令f′(x)>0,得:12x2-6x-18>0,
可得x<-1或x>$\frac{3}{2}$,
∴函数f(x)的单调增区间为(-∞,-1),($\frac{3}{2}$,+∞),
(2)f′(x)=12x2-6x-18=0,得x=-1,x=$\frac{3}{2}$,
f(-1)=16,f($\frac{3}{2}$)=-$\frac{61}{4}$,f(-3)=-76,f(1)=-13.
∴f(x)的最大值为16,最小值为-76.
点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及利用导数求闭区间上函数的最值等基础题知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,属于基础题.
练习册系列答案
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