Question

【题目】已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．
（1）若a=0，求不等式f（x）≥x的解集；
（2）若对任意x∈R，f（x）≥0恒成立，求a的范围；
（3）若方程f（x）=x有三个不同的解，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=0，不等式f（x）≥x化为不等式|x+1|﹣|x|≥x．

x≤﹣1时，﹣x﹣1+x≥x，∴x≤﹣1；

﹣1＜x＜0时，x+1+x≥x，∴﹣1＜x＜0；

x≥0时，x+1﹣x≥x，∴0≤x≤1；

综上所述，不等式f（x）≥x的解集为{x|x≤1}

（2）解：若对任意x∈R，f（x）≥0恒成立，|x|﹣|x+1|≤a恒成立，

∵|x|﹣|x+1|≤|x﹣x﹣1|=1，∴a≥1

（3）解：设u（x）=|x+1|﹣|x|，y=u（x）的图象和y=x的图象如图所示．

易知y=u（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位），与y=x的图象始终有3个交点，

从而﹣1＜a＜0．

所以实数a的取值范围为（﹣1，0）

【解析】（1）若a=0，不等式f（x）≥x化为不等式|x+1|﹣|x|≥x，分类讨论，即可求得f（x）≥x的解集；（2）若对任意x∈R，f（x）≥0恒成立，|x|﹣|x+1|≤a恒成立，求出左边的最大值，即可求a的范围；（3）u（x）=|x+1|﹣|x|，做出y=u（x）和y=x的图象，方程f（x）=x恰有三个不同的实根，转化成y=u（x）与y=x的图象始终有3个交点，根据函数图象即可求得实数a的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．