题目内容
13．已知函数f（x）=lg（1+x）-lg（1-x）．（1）求f（x）的定义域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）证明函数在定义域内是单调增函数．
分析 （1）使函数有意义时，需$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，这样便可得出定义域为（-1，1）；
（2）容易得出f（-x）=-f（x），从而判断出该函数为奇函数；
（3）先将原函数变成f（x）=$lg\frac{1+x}{1-x}$，根据增函数的定义，定义域内设任意的x1＜x2，然后作差，进行对数的运算，得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=lg\frac{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}{（1+{x}_{2}）（1-{x}_{1}）}$，根据-1＜x1＜x2＜1证明$\frac{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}{（1+{x}_{2}）（1-{x}_{1}）}＜1$即可得出f（x）在定义域内单调递增．
解答 解：（1）解$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$得，-1＜x＜1；
∴f（x）的定义域为（-1，1）；
（2）f（-x）=lg（1-x）-lg（1+x）=-f（x）；
∴该函数为奇函数；
（3）证明：$f（x）=lg\frac{1+x}{1-x}$，设x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=lg\frac{1+{x}_{1}}{1-{x}_{1}}-lg\frac{1+{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$=$lg\frac{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}{（1+{x}_{2}）（1-{x}_{1}）}$；
∵-1＜x1＜x2＜1；
∴0＜1+x1＜1+x2，0＜1-x2＜1-x1；
∴$0＜\frac{1+{x}_{1}}{1+{x}_{2}}＜1，0＜\frac{1-{x}_{2}}{1-{x}_{1}}＜1$；
∴$0＜\frac{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}{（1+{x}_{2}）（1-{x}_{1}）}＜1$；
∴$lg\frac{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}{（1+{x}_{2}）（1-{x}_{1}）}＜0$；
∴f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）在定义域内为单调增函数．
点评 考查函数定义域、奇偶性的定义，对数的真数大于0，根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x1）与f（x2），对数的运算，对数函数的单调性．
| A． | （-2，+∞） | B． | （-2，2） | C． | （-∞，-2） | D． | （+∞，+∞） |
| A． | y=x${\;}^{\frac{3}{4}}$ | B． | y=4x | C． | y=x${\;}^{\frac{1}{3}}$ | D． | y=x${\;}^{\frac{2}{3}}$ |