Question

已知元素为实数的集合S满足下列条件：①1、0∉S；②若a∈S，则

1

1-a

∈S
（1）若{2，-2}⊆S，求使元素个数最少的集合S；
（2）若非空集合S为有限集，则你对集合S的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测正确．

Answer 1

分析：（1）根据条件若a∈S，则

1

1-a

∈S，分别利用2，-2∈S，进行推导．（2）要使非空集合S为有限集，则集合元素具备一定规律性，利用规律性进行判断．

解答：解：(1)2∈S⇒

1

1-2

=-1∈S⇒

1

1-(-1)

=

1

2

∈S⇒

1

1- 1 2

=2∈S；----（2分）
-2∈S⇒

1

1-(-2)

=

1

3

∈S⇒

1

1- 1 3

=

3

2

∈S⇒

1

1- 3 2

=-2∈S--------------（3分）
∴使{2，-2}?S的元素个数最少的集合S为{2，-1，

1

2

，-2，

1

3

，

3

2

}------------（4分）
（2）设a∈S，则a≠0，1且a∈S⇒

1

1-a

∈S⇒

1

1- 1 1-a

=

a-1

a

∈S⇒

1

1- a-1 a

=a∈S（*）
由于a=

1

1-a

?a2-a+1=0(a≠1)，但a²-a+1=0无实数根
故a≠

1

1-a

同理

1

1-a

≠

a-1

a

，

a-1

a

≠a∴{a，

1

1-a

，

a-1

a

}⊆S---------------------------------（7分）
若存在b∈S，而b∉{a，

1

1-a

，

a-1

a

}，则{b，

1

1-b

，

b-1

b

}⊆S且{a，

1

1-a

，

a-1

a

}∩{b，

1

1-b

，

b-1

b

}=∅
（若{b，

1

1-b

，

b-1

b

}中有元素∈{a，

1

1-a

，

a-1

a

}，
则利用前述的（*）式可知b∈{a，

1

1-a

，

a-1

a

}）
于是{a，

1

1-a

，

a-1

a

，b，

1

1-b

，

b-1

b

}⊆S------------------------------------------------（9分）
上述推理还可继续，由于S为有限集，故上述推理有限步可中止
∴S的元素个数为3的倍数．--------------------------------------------------------（10分）

点评：本题主要考查集合元素的确定，利用条件进行推导元素是解决本题的关键，考查学生的推理和分析能力．