题目内容
【题目】已知函数,
既存在极大值,又存在极小值.
(1)求实数的取值范围;
(2)当时,
,
分别为
的极大值点和极小值点.且
,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)求出函数的导数,结合函数的单调性确定的范围即可;
(2)求出函数的极值点,问题转化为,设
,根据函数的单调性确定
的范围即可.
解:(1)由得
,
即,
由题意,若存在极大值和极小值,则
必有两个不相等的实数根,
由得
,所以
必有一个非零实数根,
∴,
,∴
且
,∴
或
.
综上,实数的取值范围为
.
(2)当时,由(1)可知
的极大值点为
,极小值点为
,
此时,
,
依题意得对任意
恒成立,
由于此时,所以
;
所以,即
,
设,
,则
,
令,判别式
.
①当时,
,所以
,
在
单调递增,
所以,即
,符合题意;
②当时,
,设
的两根为
,
,且
,
则,
,因此
,
则当时,
,
在
单调递减,
所以当时,
,即
,
所以,矛盾,不合题意;
综上,的取值范围是
.
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