Question

已知：数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2a_n-2n（n∈N*）
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+2），而T_n为数列{

bn

an+2

}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析：（1）已知前n项和与通项的关系，可以再写一式，两式相减，从而构建新数列{a_n+2}是以a₁+2为首项，以2为公比的等比数列，进而求出通项；（2）先分析出{

bn

an+2

}通项的特点，再用错位相减法求和．

解答：解：（1）当n∈N*时，S_n=2a_n-2n，①则当n≥2，n∈N*时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）．②
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1-2，即a_n=2a_n-1+2，∴a_n+2=2（a_n-1+2）∴

an+2

an-1+2

=2．
当n=1 时，S₁=2a₁-2，则a₁=2，当n=2时，a₂=6，∴{a_n+2}是以a₁+2为首项，以2为公比的等比数列．
∴a_n+2=4•2^n-1，∴a_n=2ⁿ⁺¹-2，（7分）
（2）由b_n=log₂（a_n+2）=log₂2ⁿ⁺¹=n+1，得

bn

an+2

=

n+1

2n+1

，
则T_n=

2

22

+

3

23

+…+

n+1

2n+1

，③

1

2

Tn=

2

23

+…+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

，④
③-④，得

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

4

+

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

1

4

+

1

2

-

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

n+3

2n+2

∴T_n=

3

2

-

n+3

2n+1

（14分）

点评：有些数列不易直接化成等差或等比数列，但经推理可寻求特殊的关系转化为等差或等比数列求解