Question

设M是满足下列条件的函数f(x)构成的集合：“①方程f(x)－x＝0有实数根；②函数f(x)的导数f′(x)满足0<f′(x)<1.”

(1)若函数f(x)为集合M中的任一元素，试证明方程f(x)－x＝0只有一个实根；

(2)判断函数g(x)＝－＋3(x>1)是否是集合M中的元素，并说明理由；

(3)“对于(2)中函数g(x)定义域内的任一区间[m，n]，都存在x₀∈[m，n]，使得g(n)－g(m)＝(n－m)g′(x₀)”，请利用函数y＝lnx的图像说明这一结论．

Answer 1

解析　(1)令h(x)＝f(x)－x，则h′(x)＝f′(x)－1<0，

即h(x)在区间(1，＋∞)上单调递减．

所以，使h(x)＝0，即f(x)－x＝0成立的x至多有一解．

又由题设①知方程f(x)－x＝0有实数根，

所以，方程f(x)－x＝0只有一个实数根．

(2)由题意知，g′(x)＝－∈⊂(0,1)，满足条件．

令F(x)＝g(x)－x＝－－＋3(x>1)，

则F(e)＝－＋>0，F(e²)＝－＋2<0.

又F(x)在区间[e，e²]上连续，所以F(x)在[e，e²]上存在零点x₀，即方程g(x)－x＝0有实数根x₀∈[e，e²]，故g(x)满足条件①.

综上可知，g(x)∈M.

(3)由(1)知：g(n)－g(m)＝(n－m)－(lnn－lnm)，

而(n－m)g′(x₀)＝(n－m)(－)，

所以原式等价于＝.

该等式说明函数y＝lnx(x>1)上任意两点A(m，lnm)和B(n，lnn)的连线段AB(如图所示)，在曲线y＝lnx(m≤x≤n)上都一定存在一点P(x₀，lnx₀)，使得该点处的切线平行于AB，根据y＝lnx(x>1)图像知该等式一定成立．