题目内容

已知双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0．
（1）若双曲线经过 $数学公式$ ，求双曲线方程；
（2）若双曲线的焦距是 $数学公式$ ，求双曲线方程．

解：（1）∵双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0．
∴设双曲线方程为：4x²-9y²=λ（λ≠0）
∵双曲线经过 $\text{[math]}$ ，
∴4×（ $\text{[math]}$ ）²-9×2²=λ，得λ=-12，
可得双曲线方程为：4x²-9y²=-12，化为标准形式得： $\text{[math]}$ ．
（2）①当双曲线焦点在x轴上时，设方程为 $\text{[math]}$
∵渐近线的方程为2x±3y=0且焦距是 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，解之得a=3，b=2．因此双曲线方程为 $\text{[math]}$
②当双曲线焦点在y轴上时，设方程为 $\text{[math]}$
用类似于①的方法，可解得a=2，b=3．因此双曲线方程为 $\text{[math]}$
综上所述，可得双曲线方程为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据据题意，可设双曲线方程为4x²-9y²=λ（λ≠0），将已知点P的坐标代入可得λ的值，即可得到双曲线的方程，最后再化成标准方程；
（2）分双曲线焦点在x轴和y轴进行讨论，根据题意建立关于a、b的方程组，联解可得a、b的值，从而得到双曲线的方程．
点评：本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，着重考查了双曲线的基本概念和简单几何性质的知识，属于基础题．

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