题目内容
已知双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0.
(1)若双曲线经过P(
,2),求双曲线方程;
(2)若双曲线的焦距是2
,求双曲线方程.
(1)若双曲线经过P(
6 |
(2)若双曲线的焦距是2
13 |
分析:(1)根据据题意,可设双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0),将已知点P的坐标代入可得λ的值,即可得到双曲线的方程,最后再化成标准方程;
(2)分双曲线焦点在x轴和y轴进行讨论,根据题意建立关于a、b的方程组,联解可得a、b的值,从而得到双曲线的方程.
(2)分双曲线焦点在x轴和y轴进行讨论,根据题意建立关于a、b的方程组,联解可得a、b的值,从而得到双曲线的方程.
解答:解:(1)∵双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0.
∴设双曲线方程为:4x2-9y2=λ(λ≠0)
∵双曲线经过P(
,2),
∴4×(
)2-9×22=λ,得λ=-12,
可得双曲线方程为:4x2-9y2=-12,化为标准形式得:
-
=1.
(2)①当双曲线焦点在x轴上时,设方程为
-
=1
∵渐近线的方程为2x±3y=0且焦距是2
,
∴
,解之得a=3,b=2.因此双曲线方程为
-
=1
②当双曲线焦点在y轴上时,设方程为
-
=1
用类似于①的方法,可解得a=2,b=3.因此双曲线方程为
-
=1
综上所述,可得双曲线方程为
-
=1或
-
=1.
∴设双曲线方程为:4x2-9y2=λ(λ≠0)
∵双曲线经过P(
6 |
∴4×(
6 |
可得双曲线方程为:4x2-9y2=-12,化为标准形式得:
y2 | ||
|
x2 |
3 |
(2)①当双曲线焦点在x轴上时,设方程为
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
∵渐近线的方程为2x±3y=0且焦距是2
13 |
∴
|
x2 |
9 |
y2 |
4 |
②当双曲线焦点在y轴上时,设方程为
y2 |
a2 |
x2 |
b2 |
用类似于①的方法,可解得a=2,b=3.因此双曲线方程为
y2 |
4 |
x2 |
9 |
综上所述,可得双曲线方程为
x2 |
9 |
y2 |
4 |
y2 |
4 |
x2 |
9 |
点评:本题给出双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,着重考查了双曲线的基本概念和简单几何性质的知识,属于基础题.
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