题目内容

已知双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0.
(1)若双曲线经过P(
6
,2)
,求双曲线方程;
(2)若双曲线的焦距是2
13
,求双曲线方程.
分析:(1)根据据题意,可设双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0),将已知点P的坐标代入可得λ的值,即可得到双曲线的方程,最后再化成标准方程;
(2)分双曲线焦点在x轴和y轴进行讨论,根据题意建立关于a、b的方程组,联解可得a、b的值,从而得到双曲线的方程.
解答:解:(1)∵双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0.
∴设双曲线方程为:4x2-9y2=λ(λ≠0)
∵双曲线经过P(
6
,2)

∴4×(
6
2-9×22=λ,得λ=-12,
可得双曲线方程为:4x2-9y2=-12,化为标准形式得:
y2
4
3
-
x2
3
=1

(2)①当双曲线焦点在x轴上时,设方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1

∵渐近线的方程为2x±3y=0且焦距是2
13

b
a
=
2
3
c=
a2+b2
=
13
,解之得a=3,b=2.因此双曲线方程为
x2
9
-
y2
4
=1

②当双曲线焦点在y轴上时,设方程为
y2
a2
-
x2
b2
=1

用类似于①的方法,可解得a=2,b=3.因此双曲线方程为
y2
4
-
x2
9
=1

综上所述,可得双曲线方程为
x2
9
-
y2
4
=1
y2
4
-
x2
9
=1
点评:本题给出双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,着重考查了双曲线的基本概念和简单几何性质的知识,属于基础题.
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