Question

3．S_n=C¹_n+2C²_n+3C³_n+…+（n-1）C^n-1_n+nCⁿ_n=n•2^n-1．

Answer 1

分析 构造函数（1+x）ⁿ=1+C_n¹x+C_n²x²++C_nⁿxⁿ，对其两边求导数，再令x=1即可得出答案．

解答 解：∵（1+x）ⁿ=1+C_n¹x+C_n²x²+…+（n-1）C^n-1_n+C_nⁿxⁿ，
两边对x求导，得：
n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+3C_n³x²+…+（n-1）C^n-1_nx^n-2+nC_nⁿx^n-1；
令x=1，得：
n•2^n-1=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+（n-1）C^n-1_n+nC_nⁿ，
即S_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+（n-1）C^n-1_n+nC_nⁿ=n•2^n-1．
故答案为：n•2^n-1．

点评 本题考查了二项式展开式的应用问题，也考查了导数的综合应用问题，考查了特殊值计算问题，是基础题目．