Question

已知函数f(x)＝mx－，g(x)＝2lnx．

(Ⅰ)当m＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(Ⅱ)当m＝1时，证明方程f(x)＝g(x)有且仅有一个实数根；

(Ⅲ)若xÎ (1，e]时，不等式f(x)－g(x)＜2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)m＝2时，f(x)＝2x－，(x)＝2＋，(1)＝4　　1分 　　切点坐标为(1，0)，∴切线方程为y＝4x－4　　2分 　　(2)m＝1时，令h(x)＝f(x)－g(x)＝x－－2lnx，则(x)＝1＋－＝≥0 　　∴h(x)在(0，＋∞)上是增函数　　4分 　　又h(e)·h()＝－(－e＋2)2＜0，∴h(x)在(，e)上有且只有一个零点　　5分 　　∴方程有且仅有一个实数根　　6分 　　(或说明h(1)＝0也可以) 　　(3)由题意知，mx－－2lnx＜2恒成立，即m(x2－1)＜2x＋2xlnx恒成立，∵x2－1＞0 　　则当xÎ (1，e]时，m＜恒成立　　7分 　　令G(x)＝，当xÎ (1，e]时，(x)＝＜0　　9分 　　则G(x)在xÎ (1，e]时递减，∴G(x)在xÎ (1，e]时的最小值为G(e)＝　　11分 　　则m的取值范围是(－∞，]　　12分