Question

如果f（x）在某个区间I内满足：对任意的x₁，x₂∈I，都有

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥f(

x1+x2

2

)，则称f（x）在I上为下凸函数；已知函数f(x)=

1

x

-alnx．
（Ⅰ）证明：当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上为下凸函数；
（Ⅱ）若f'（x）为f（x）的导函数，且x∈[

1

2

，2]时，|f'（x）|＜1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设中的定义知，可先得出

1

2

[f(x1)+f(x2)]与f(

x1+x2

2

)的展开式，整理成最简形式，根据题设条件判断出

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥f(

x1+x2

2

)即可证明出结论；
（II）由题意f'（x）为f（x）的导函数，且x∈[

1

2

，2]时，|f'（x）|＜1可得出-(x+

1

x

)＜a＜x-

1

x

，由于在x∈[

1

2

，2]时，此不等式恒成立，故可构造出两个函数g(x)=-(x+

1

x

)，h(x)=x-

1

x

，将问题转化为g_max（x）＜a＜h_min（x），根据两函数的单调性求出g_max（x）与h_min（x），即可得到a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）任取x₁，x₂∈（0，+∞），则

1

2

[f(x1)+f(x2)]=

1

2

[

1

x1

-alnx1+

1

x2

-alnx2]=

x1+x2

2x1x2

-aln

x1x2

，…（2分）
f(

x1+x2

2

)=

2

x1+x2

-aln

x1+x2

2

，…（3分）
∵x₁²+x₂²≥2x₁x₂，∴（x₁+x₂）²≥4x₁x₂，
又x1＞0，x2＞0，

x1+x2

2x1x2

≥

2

x1+x2

，…（5分）
又

x1+x2

2

≥

x1x2

，a＞0，
∴-aln

x1x2

≥aln

x1+x2

2

，
即

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥f(

x1+x2

2

)．
∴f（x）为（0，+∞）上的下凸函数…（7分）
答：f（x）为（0，+∞）上的下凸函数
（Ⅱ）先对所给的函数求导得到f′(x)=-

1

x2

-

a

x

，…（9分）
∵|f′(x)|＜1，即|

1

x2

+

a

x

|＜1，
∴-(x+

1

x

)＜a＜x-

1

x

，…（11分）
∵x∈[

1

2

，2]时，|f′(x)|＜1恒成立，
设g(x)=-(x+

1

x

)，h(x)=x-

1

x

则有g_max（x）＜a＜h_min（x），
又g(x)=-(x+

1

x

)在[

1

2

，1]上为增函数，在[1，2]上为减函数
∴g_max（x）=g（1）=-2…（12分），
而h(x)=x-

1

x

在[

1

2

，2]上为增函数，
∴hmin(x)=h(

1

2

)=-

3

2

…（13分）
∴a∈(-2，-

3

2

)…（14分）
答：实数a的取值范围是（-2，-

3

2

）

点评：本题是一个新定义的题，考查了利用新定义证明，利用不等式恒成立求参数的取值范围，理解新定义，将恒成立的问题进行正确转化是解题的关键，利用导数求最值是导数的重要运用，本题用到了转化的思想，函数的思想，是综合性较强的题，可能因为找不到问题的转化方向而无法下手．