Question

（2011•淄博二模）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若

m

=（sin²

B+C

2

，1），

n

=（cos2A+

7

2

，4），且

m

∥

n

．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）当a=

3

，S_△ABC=

3

2

时，求边长b和角B的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）△ABC中，利用共线向量的坐标运算可求得cosA=

1

2

，从而可求角A；
（Ⅱ）利用三角形的面积公式与余弦定理，通过解关于b，c的方程组即可求得边长b和角B的大小．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

∥

n

，
∴4sin2

B+C

2

-cos2A-

7

2

=0，
∴2[1-cos（B+C）]-cos2A-

7

2

=0，
∴2+2cosA-（2cos²A-1）-

7

2

=0，整理得：（2cosA-1）²=0，
∴cosA=

1

2

，又A∈（0，π），
∴A=

π

3

．
（Ⅱ）∵a=

3

，A=

π

3

，S_△ABC=

3

2

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bc×

3

2

=

3

2

，
∴bc=2①
由余弦定理a²=b²+c²-2bcconA=b²+c²-2×2×

1

2

=3得：b²+c²=5②
联立①②得：

b=1 c=2

或

b=2 c=1

．
∴若b=1，c=2，则△ABC为c是斜边长的直角三角形，故B=

π

6

；
若若b=2，c=1，则△ABC为b是斜边长的直角三角形，故B=

π

2

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查余弦定理与三角形面积的综合应用，考查方程思想与分类讨论思想，属于中档题．