题目内容
已知函数.(Ⅰ)当a<0时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在[1,e]上的最小值是,求a的值.
【答案】分析:(Ⅰ)求出的导数,令导数大于0求函数的增区间,导数小于0求函数的减区间.
(Ⅱ)对a进行分类讨论,分别求出各种情况下的函数在[1,e]上的最小值令其为解方程求得a的值
解答:解:函数的定义域为(0,+∞),(1分)
(3分)
(Ⅰ)∵a<0,∴f'(x)>0,
故函数在其定义域(0,+∞)上是单调递增的.(5分)
(Ⅱ)在[1,e]上,分如下情况讨论:
1当a<1时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,其最小值为f(1)=a<1,这与函数在[1,e]上的最小值是相矛盾;
2当a=1时,函数f(x)在(1,e]单调递增,其最小值为f(1)=1,同样与最小值是相矛盾;(7分)
3当1<a<e时,函数f(x)在[1,a)上有f'(x)<0,单调递减,
在(a,e]上有f'(x)>0,单调递增,
所以,函数f(x)的最小值为f(a)=lna+1,由,得a=.
4当a=e时,函数f(x)在[1,e)上有f'(x)<0,单调递减,
其最小值为f(e)=225,还与最小值是相矛盾;
5当a>e时,显然函数f(x)在[1,e]上单调递减,其最小值为>2,仍与最小值是相矛盾;(12分)
综上所述,a的值为.(13分)
点评:本题是导数的应用题,应用层数证明单调性,求单调区间,这是导数的一个重要运用.
(Ⅱ)对a进行分类讨论,分别求出各种情况下的函数在[1,e]上的最小值令其为解方程求得a的值
解答:解:函数的定义域为(0,+∞),(1分)
(3分)
(Ⅰ)∵a<0,∴f'(x)>0,
故函数在其定义域(0,+∞)上是单调递增的.(5分)
(Ⅱ)在[1,e]上,分如下情况讨论:
1当a<1时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,其最小值为f(1)=a<1,这与函数在[1,e]上的最小值是相矛盾;
2当a=1时,函数f(x)在(1,e]单调递增,其最小值为f(1)=1,同样与最小值是相矛盾;(7分)
3当1<a<e时,函数f(x)在[1,a)上有f'(x)<0,单调递减,
在(a,e]上有f'(x)>0,单调递增,
所以,函数f(x)的最小值为f(a)=lna+1,由,得a=.
4当a=e时,函数f(x)在[1,e)上有f'(x)<0,单调递减,
其最小值为f(e)=225,还与最小值是相矛盾;
5当a>e时,显然函数f(x)在[1,e]上单调递减,其最小值为>2,仍与最小值是相矛盾;(12分)
综上所述,a的值为.(13分)
点评:本题是导数的应用题,应用层数证明单调性,求单调区间,这是导数的一个重要运用.
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