题目内容
【题目】如图,四棱锥中,
,
,
,
为正三角形,且
.
(1)证明:直线平面
;
(2)若四棱锥的体积为
,
是线段
的中点,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)证明,
,推出
平面
;
(2)以为原点,直线
、
分别为
轴,
轴,建立空间直角坐标系,求出各点的坐标,由(1)的结论知,
平面
,所以则向量
与向量
所成的角或其补角与直线
与平面
所成的角互余,计算结果即可.
(1),且
,
,
又为正三角形,所以
,
又,
,所以
,又
,
//
,
,
,所以
平面
.
(2)设点到平面
的距离为
,则
,依题可得
,以
为原点,直线
、
分别为
轴,
轴,建立空间直角坐标系,分别求出各点的坐标和向量
,由(1)可知
平面
,故向量
是平面
的一个法向量,则向量
与向量
所成的角或其补角与直线
与平面
所成的角互余.
则,
,
,
,则
,设
,
由,
,可得
,解得
,
,
即,
所以,又由(1)可知,
是平面
的一个法向量,
∴,
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
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