题目内容

（1）若（1+x）ⁿ的展开式中，x³的系数是x的系数的7倍，求n；
（2）若（ax+1）⁷（a≠0）的展开式中，x³的系数是x²的系数与x⁴的系数的等差中项，求a；
（3）已知（2x+x^lgx）⁸的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x．

（1）

C

3n

=7

C

1n

，

n(n-1)(n-2)

6

=7n，n2-3n-40=0，由n∈N*，得n=8．
（2）C₇⁵a²+C₇³a⁴=2C₇⁴a³，21a²+35a⁴=70a³，a≠0，
得5a2-10a+3=0?a=1±

10

5

．
（3）展开式共有9项，据二项式系数的性质：中间项的二项式系数最大
C₈⁴（2x）⁴（x^lgx）⁴=1120，x^4（1+lgx）=1，lg²x+lgx=0，
得lgx=0，或lgx=-1，
所以x=1，或x=

1

10

．

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若（1+x）ⁿ⁺¹的展开式中含x^n-1的系数为a_n，则

的值为（　　）

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（2）若（ax+1）⁷（a≠0）的展开式中，x³的系数是x²的系数与x⁴的系数的等差中项，求a；
（3）已知（2x+x^lgx）⁸的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x．

（2013•黄埔区一模）对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”．设函数f（x）的定义域为R⁺，且f（1）=3．
（1）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，求f（2¹⁰）；
（2）若（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x∈[1，2）时f（x）=k（2-x），求f（x）在区间[1，2²ⁿ）（n∈N^*）上的最大值与最小值；
（3）若f（x）是增函数，且（2，-2）是f（x）的一个“P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由． ①f（2^-n）与2^-n+2（n∈N^*）；②f（x）与2x+2（x∈（2^-n，2^1-n]，n∈N^*）．

已知函数f（x）=log_ax，g（x）=x，h（x）=a^x．
（1）若a=2，设m（x）=h（x）-g（x），n（x）=g（x）-f（x），当x＞1时，试比较m（x）与n（x）的大小（只需要写出结果，不必证明）；
（2）若 $数学公式$ ，设P是函数g（x）图象在第一象限上的一个动点，过点P作平行于x轴的直线
与函数h（x）和f（x）的图象分别交于A、B两点，过点P作平行于y轴的直线与函数h（x）和f（x）的图象分别交于C、D两点，求证：|AB|=|CD|．

对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”．设函数f（x）的定义域为R⁺，且f（1）=3．
（1）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，求f（2¹⁰）；
（2）若（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x∈[1，2）时f（x）=k（2-x），求f（x）在区间[1，2²ⁿ）（n∈N^*）上的最大值与最小值；
（3）若f（x）是增函数，且（2，-2）是f（x）的一个“P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由． ①f（2^-n）与2^-n+2（n∈N^*）；②f（x）与2x+2（x∈（2^-n，2^1-n]，n∈N^*）．