题目内容
在下列由正数排成的数表中,每行上的数从左到右都成等比数列,并且所有公比都等于q,每列上的数从上到下都成等差数列.aij表示位于第i行第j列的数,其中a24=1 |
8 |
5 |
16 |
(Ⅰ)求q的值;
(Ⅱ)求aij的计算公式;
(Ⅲ)设数列{bn}满足bn=ann,{bn}的前n项和为Sn,试比较Sn与Tn=
6n+11 |
5(n+1) |
分析:(Ⅰ)利用a24=
和a54=
求出a44,再利用每行上的数从左到右都成等比数列,并且所有公比都等于q来求公比即可.
(Ⅱ)先求出ai4,然后在利用第i行成等比数列,且公比q=
,即可求出aij的计算公式;
(Ⅲ)有(Ⅱ)的结论求出bn的通项,再利用错位相减法求出Sn,然后研究出Sn与Tn=
对应的函数的单调性,利用单调性来比较Sn与Tn=
的大小即可.
1 |
8 |
5 |
16 |
(Ⅱ)先求出ai4,然后在利用第i行成等比数列,且公比q=
1 |
2 |
(Ⅲ)有(Ⅱ)的结论求出bn的通项,再利用错位相减法求出Sn,然后研究出Sn与Tn=
6n+11 |
5(n+1) |
6n+11 |
5(n+1) |
解答:解:(Ⅰ)设第4列公差为d,则d=
=
=
.
故a44=a54-d=
-
=
,于是q2=
=
.
由于aij>0,所以q>0,故q=
.(3分)
(Ⅱ)在第4列中,ai4=a24+(i-2)d=
+
(i-2)=
i.
由于第i行成等比数列,且公比q=
,
所以,aij=ai4•qj-4=
i•(
)j-4=i•(
)j.(6分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知ann=n(
)n.即bn=n(
)n.
所以Sn=b1+b2+b3++bn=a11+a22+a33++ann.
即Sn=1•
+2•(
)2+3•(
)3++(n-1)•(
)n-1+n•(
)n,
故
Sn=1•(
)2+2•(
)3+3•(
)4++(n-1)•(
)n+n•(
)n+1.
两式相减,得
Sn=
+(
)2+(
)3++(
)n-n•(
)n+1=
-n•(
)n+1=1-(
)n-n(
)n+1,
所以Sn=2-
-
.(8分)
设f(x)=2-
-
(x>0),
即f(x)=2-
-
=2-
=2-(2+x)2-x.
因为f′(x)=-[2-x+(2+x)2-x(-1)ln2]=2-x[(2+x)ln2-1]
=2-x[ln22+x-lne]=2-xln
,
且当x>0时,x+2>2.所以22+x>22=4.
于是
>
>1.
所以ln
>0.
又2-x>0,
所以在(0,+∞)上f′(x)=2-xln
>0.
因此函数f(x)=2-
-
在(0,+∞)单调递增.
所以Sn=2-
-
(n∈N*)是递增数列.(10分)
同理设g(x)=
(x>0),
因为g′(x)=
•
=-
<0(x>0),
故g(x)=
在(0,+∞)单调递减.
所以Tn=
(n∈N*)是递减数列.(12分)
容易计算S1=f(1)=
,S2=f(2)=1,S3=f(3)=1
,S4=f(4)=1
,
T1=g(1)=1
,T2=g(2)=1
,T3=g(3)=1
,T4=g(4)=1
,
显然S1<T1,S2<T2,S3<T3,S4>T4,
所以当n≤3时,Sn<Tn;当n>3时,Sn>Tn.(14分)
a54-a24 |
5-2 |
| ||||
3 |
1 |
16 |
故a44=a54-d=
5 |
16 |
1 |
16 |
1 |
4 |
a44 |
a42 |
1 |
4 |
由于aij>0,所以q>0,故q=
1 |
2 |
(Ⅱ)在第4列中,ai4=a24+(i-2)d=
1 |
8 |
1 |
16 |
1 |
16 |
由于第i行成等比数列,且公比q=
1 |
2 |
所以,aij=ai4•qj-4=
1 |
16 |
1 |
2 |
1 |
2 |
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知ann=n(
1 |
2 |
1 |
2 |
所以Sn=b1+b2+b3++bn=a11+a22+a33++ann.
即Sn=1•
1 |
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1 |
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1 |
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1 |
2 |
1 |
2 |
故
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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两式相减,得
1 |
2 |
1 |
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2 |
1 |
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1 |
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1 |
2 |
| ||||
1-
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1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
所以Sn=2-
1 |
2n-1 |
n |
2n |
设f(x)=2-
1 |
2x-1 |
x |
2x |
即f(x)=2-
2 |
2x |
x |
2x |
2+x |
2x |
因为f′(x)=-[2-x+(2+x)2-x(-1)ln2]=2-x[(2+x)ln2-1]
=2-x[ln22+x-lne]=2-xln
22+x |
e |
且当x>0时,x+2>2.所以22+x>22=4.
于是
22+x |
e |
4 |
e |
所以ln
22+x |
e |
又2-x>0,
所以在(0,+∞)上f′(x)=2-xln
22+x |
e |
因此函数f(x)=2-
1 |
2x-1 |
x |
2x |
所以Sn=2-
1 |
2n-1 |
n |
2n |
同理设g(x)=
6x+11 |
5(x+1) |
因为g′(x)=
1 |
5 |
6(x+1)-(6x+11) |
(x+1)2 |
1 |
(x+1)2 |
故g(x)=
6x+11 |
5(x+1) |
所以Tn=
6n+11 |
5(n+1) |
容易计算S1=f(1)=
1 |
2 |
3 |
8 |
5 |
8 |
T1=g(1)=1
7 |
10 |
8 |
15 |
9 |
20 |
2 |
5 |
显然S1<T1,S2<T2,S3<T3,S4>T4,
所以当n≤3时,Sn<Tn;当n>3时,Sn>Tn.(14分)
点评:本题是对等差数列和等比数列的综合考查.并考查了数列求和的错位相减法.以及数列与函数的综合.错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列.
练习册系列答案
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(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 求的计算公式;
(Ⅲ)设数列{bn}满足bn=ann,{bn}的前项和为,试比较与Tn= ( n∈N*) 的大小,并说明理由.
在下列由正数排成的数表中,每行上的数从左到右都成等比数列,并且所有公比都等于,每列上的数从上到下都成等差数列.表示位于第行第列的数,其中,,.
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(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 求的计算公式;
(Ⅲ)设数列{bn}满足bn=ann,{bn}的前项和为,求.