题目内容

在下列由正数排成的数表中,每行上的数从左到右都成等比数列,并且所有公比都等于q,每列上的数从上到下都成等差数列.aij表示位于第i行第j列的数,其中a24=
1
8
,a42=1,a54=
5
16

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(Ⅰ)求q的值;
(Ⅱ)求aij的计算公式;
(Ⅲ)设数列{bn}满足bn=ann,{bn}的前n项和为Sn,试比较Sn与Tn=
6n+11
5(n+1)
( n∈N*)的大小,并说明理由.
分析:(Ⅰ)利用a24=
1
8
a54=
5
16
求出a44,再利用每行上的数从左到右都成等比数列,并且所有公比都等于q来求公比即可.
(Ⅱ)先求出ai4,然后在利用第i行成等比数列,且公比q=
1
2
,即可求出aij的计算公式;
(Ⅲ)有(Ⅱ)的结论求出bn的通项,再利用错位相减法求出Sn,然后研究出Sn与Tn=
6n+11
5(n+1)
对应的函数的单调性,利用单调性来比较Sn与Tn=
6n+11
5(n+1)
的大小即可.
解答:解:(Ⅰ)设第4列公差为d,则d=
a54-a24
5-2
=
5
16
-
1
8
3
=
1
16

a44=a54-d=
5
16
-
1
16
=
1
4
,于是q2=
a44
a42
=
1
4

由于aij>0,所以q>0,故q=
1
2
.(3分)
(Ⅱ)在第4列中,ai4=a24+(i-2)d=
1
8
+
1
16
(i-2)=
1
16
i

由于第i行成等比数列,且公比q=
1
2

所以,aij=ai4qj-4=
1
16
i•(
1
2
)j-4=i•(
1
2
)j
.(6分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知ann=n(
1
2
)n
.即bn=n(
1
2
)n

所以Sn=b1+b2+b3++bn=a11+a22+a33++ann
Sn=1•
1
2
+2•(
1
2
)2+3•(
1
2
)3++(n-1)•(
1
2
)n-1+n•(
1
2
)n

1
2
Sn=1•(
1
2
)2+2•(
1
2
)3+3•(
1
2
)4++(n-1)•(
1
2
)n+n•(
1
2
)n+1

两式相减,得
1
2
Sn=
1
2
+(
1
2
)2+(
1
2
)3++(
1
2
)n-n•(
1
2
)n+1
=
1
2
[1-(
1
2
)
n
]
1-
1
2
-n•(
1
2
)n+1=1-(
1
2
)n-n(
1
2
)n+1

所以Sn=2-
1
2n-1
-
n
2n
.(8分)
设f(x)=2-
1
2x-1
-
x
2x
(x>0),
即f(x)=2-
2
2x
-
x
2x
=2-
2+x
2x
=2-(2+x)2-x
因为f′(x)=-[2-x+(2+x)2-x(-1)ln2]=2-x[(2+x)ln2-1]
=2-x[ln22+x-lne]=2-xln
22+x
e

且当x>0时,x+2>2.所以22+x>22=4.
于是
22+x
e
4
e
>1.
所以ln
22+x
e
>0.
又2-x>0,
所以在(0,+∞)上f′(x)=2-xln
22+x
e
>0.
因此函数f(x)=2-
1
2x-1
-
x
2x
在(0,+∞)单调递增.
所以Sn=2-
1
2n-1
-
n
2n
(n∈N*)是递增数列.(10分)
同理设g(x)=
6x+11
5(x+1)
(x>0),
因为g′(x)=
1
5
6(x+1)-(6x+11)
(x+1)2
=-
1
(x+1)2
<0(x>0),
故g(x)=
6x+11
5(x+1)
在(0,+∞)单调递减.
所以Tn=
6n+11
5(n+1)
(n∈N*)是递减数列.(12分)
容易计算S1=f(1)=
1
2
,S2=f(2)=1,S3=f(3)=1
3
8
,S4=f(4)=1
5
8

T1=g(1)=1
7
10
,T2=g(2)=1
8
15
,T3=g(3)=1
9
20
,T4=g(4)=1
2
5

显然S1<T1,S2<T2,S3<T3,S4>T4
所以当n≤3时,Sn<Tn;当n>3时,Sn>Tn.(14分)
点评:本题是对等差数列和等比数列的综合考查.并考查了数列求和的错位相减法.以及数列与函数的综合.错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列.
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