Question

方程+=-1的曲线即为函数y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），有如下结论：
①f（x）在R上单调递减；
②函数F（x）=4f（x）+3x不存在零点；
③函数y=f（x）的值域是R；
④若函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则函数y=g（x）的图象就是方程+=1确定的曲线．
其中所有正确的命题序号是（ ）
A．①②
B．②③
C．①③④
D．①②③

Answer 1

【答案】分析：根据x、y的正负去绝对值，将方程+=-1化简，得到相应函数在各个区间上的表达式，由此作出函数的图象，再由图象可知函数在R上单调递减，且函数的值域为R，所以①③成立；根据F（x）=4f（x）+3x=0得f（x）=，再由函数图象对应的曲线以y=为渐近线，得到f（x）=没有实数根，因此②正确．根据曲线关于原点对应的曲线方程的公式，可得若函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则y=g（x）的图象对应的方程是+=1，说明④错误．由此可得本题的答案．
解答：解：对于①，当x≥0且y≥0时，方程为，此时方程不成立．
当x＜0且y＜0时，方程为，此时y=-3．
当x≥0且y＜0时，方程为，此时y=-3．
当x＜0且y≥0时，方程为，即y=3．
因此作出函数的图象，如图所示
由图象可知函数在R上单调递减，所以①成立．
②由F（x）=4f（x）+3x=0得f（x）=．
因为双曲线和的渐近线为y=，
所以函数y=f（x）与直线y=无公共点，因此F（x）=4f（x）+3x不存在零点，可得②正确．
对于③，根据①所作的图象可知函数的值域为R，所以③正确．
对于④，若函数y=g（x）和y=f（x）的图象关于原点对称，
则用-x、-y分别代替x、y，可得-y=f（-x）就是y=g（x）表达式，可得g（x）=-f（-x）
∴函数y=g（x）的图象是方程+=1确定的曲线，
而不是方程+=1确定的曲线，所以④错误
故选：D
点评：本题给出含有绝对值的二次曲线，要我们判断并于曲线性质的几个命题的真假．着重考查了含有绝对值的函数式的化简、函数的图象与性质、直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．