题目内容
9．
已知抛物线y2=2px（p＞0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4．（1）求t，p的值；
（2）设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=5$（其中O为坐标原点）．求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．
分析 （1）利用抛物线y2=2px （p＞0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4，根据抛物线的定义，可求t，p的值；
（2）设直线AB的方程为x=my+t，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=5$，可求t的值，即可求出该定点P的坐标
解答 解：（1）由抛物线定义得，$3+\frac{p}{2}=4⇒p=2$…（2分）
所以抛物线方程为y2=4x，…（3分）
代入点T（3，t），可解得$t=±2\sqrt{3}$．…（5分）
（2）设直线AB的方程为x=my+n，$A（\frac{y_1^2}{4}，{y_1}）$，$B（\frac{y_2^2}{4}，{y_2}）$
联立$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{x=my+n}\end{array}}\right.$消元得：y2-4my-4n=0，则：y1+y2=4m，y1y2=-4n…（8分）
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=5$得：$\frac{{{{（{y_1}{y_2}）}^2}}}{16}+{y_1}{y_2}=5$，所以：y1y2=-20或y1y2=4（舍去）
即-4n=-20⇒n=5，所以直线AB的方程为x=my+5，
所以直线AB过定点P（5，0）…（12分）
点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．
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17．以下判断正确的是（ ）
| A． | 函数y=f（x）为R上可导函数，则f′（x0）=0是x0为函数f（x）极值点的充要条件 | |
| B． | 命题“存在x∈R，x2+x-1＜0”的否定是“任意x∈R，x2+x-1＞0” | |
| C． | 命题“在锐角△ABC中，有 sinA＞cosB”为真命题 | |
| D． | “b=0”是“函数f（x）=ax2+bx+c是偶函数”的充分不必要条件 |
4．若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）为减函数，若f（2）=0，则不等式（x-1）f（x-1）＞0的解集为（ ）
| A． | （-3，-1） | B． | （-3，1）∪（2，+∞） | C． | （-3，0）∪（1，3） | D． | （-1，1）∪（1，3） |
14．已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，正确的是（ ）
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| C． | 若m∥α，m⊥n，则n⊥α | D． | 若α⊥β，m⊥α，则m∥β |