题目内容

【题目】设函数f(x)=|2x+3|﹣|2x﹣a|,a∈R.
(1)若不等式f(x)≤﹣5的解集非空,求实数a的取值范围;
(2)若函数y=f(x)的图象关于点(﹣ ,0)对称,求实数a的值.

【答案】
(1)解:||2x+3|﹣|2x﹣a||≤|2x+3﹣2x+a|=|3+a|,

∵不等式f(x)≤﹣5的解集非空,

∴﹣|3+a|≤﹣5,∴a≤﹣8或a≥2


(2)解:∵函数y=f(x)的图象关于点(﹣ ,0)对称,

∴f(x﹣ )+f(﹣x﹣ )=0,

∴|2x+2|﹣|2x﹣1﹣a|+|﹣2x+2|﹣|﹣2x﹣1﹣a|=0,

由于对任意x为实数均成立,

∴a=1.


【解析】(1)若不等式f(x)≤﹣5的解集非空,﹣|3+a|≤﹣5,即可求实数a的取值范围;(2)若函数y=f(x)的图象关于点(﹣ ,0)对称,f(x﹣ )+f(﹣x﹣ )=0,即可求实数a的值.
【考点精析】掌握绝对值不等式的解法是解答本题的根本,需要知道含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号.

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