Question

【题目】如图在直角梯形BB1C1C中，∠CC1B1=90°，BB1∥CC1 ， CC1=B1C1=2BB1=2，D是CC1的中点．四边形AA1C1C可以通过直角梯形BB1C1C以CC1为轴旋转得到，且二面角B1﹣CC1﹣A为120°．
（1）若点E是线段A1B1上的动点，求证：DE∥平面ABC；
（2）求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图所示，连接B1D，DA1．

由已知可得： ，

∴四边形B1BDC是平行四边形，∴B1D∥BC，

而BC平面ABC，B1D平面ABC；

∴B1D∥平面ABC．

同理可得：DA1∥平面ABC．又A1D∩DB1=D，

∴平面B1DA1∥平面ABC；DE平面B1DA1；

∴DE∥平面ABC．

（2）解：作C1M⊥C1B1交A1B1于点M，分别以C1M，C1B1，C1C为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．

则C1（0，0，0），A1（ ，﹣1，0），B（0，2，1），C（0，0，2），A（ ，﹣1，1），

=（ ，﹣1，﹣1）， =（0，2，﹣1）， =（0，0，2）．

设平面ABC的法向量为 =（x1，y1，z1），则 ，即 ，取 =（ ，1，2）．

设平面A1ACC1ABC的法向量为 =（x2，y2，z2），则 ，即 ，取 =（1， ，0）．

∴ = = = ．

∴二面角B﹣AC﹣A1的余弦值是 ．

【解析】（1）如图所示，连接B1D，DA1 ． 由已知可得四边形B1BDC是平行四边形，B1D∥BC，可得B1D∥平面ABC．同理可得：DA1∥平面ABC．可得平面B1DA1∥平面ABC；即可证明DE∥平面ABC．（2）作C1M⊥C1B1交A1B1于点M，分别以C1M，C1B1 ， C1C为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设平面ABC的法向量为 =（x1 ， y1 ， z1），则 ，可得 ．设平面A1ACC1ABC的法向量为 =（x2 ， y2 ， z2），则 ，可得 ．利用 = 即可得出．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．