题目内容

(Ⅰ)已知函数f(x)=x3-x,其图象记为曲线C,
(ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(ⅱ)证明:若对于任意非零实数x1,曲线C与其在点P1(x1,f(x1))处的切线交于另一点P2(x2,f(x2)),曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3,f(x3)),线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2,则为定值;
(Ⅱ)对于一般的三次函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),请给出类似于(Ⅰ)(ⅱ)的正确命题,并予以证明.

解:(Ⅰ)(ⅰ)由f(x)=x3-x得f′(x)=3x2-1=
当x∈时,f′(x)>0;
当x∈时,f′(x)<0;
因此,f(x)的单调递增区间为
单调递减区间为
(ⅱ)曲线C在点P1处的切线方程为y=(3x12-1)(x-x1)+x13-x1
即y=(3x12-1)x-2x13
得x3-x=(3x12-1)x-2x13
即(x-x1)2(x+2x1)=0,解得x=x1或x=-2x1,故x2=-2x1
进而有

用x2代替x1,重复上述计算过程,
可得x3=-2x2和S2=
又x2=-2x1≠0,
所以
因此有

(Ⅱ)记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象为曲线C′,
类似于(Ⅰ)(ⅱ)的正确命题为:若对于任意不等于的实数x1,曲线C′与其在点P1(x1,g(x1))处的切线交于另一点P2(x2,g(x2)),曲线C′与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3,g(x3)),线段P1P2,P2P3与曲线C′所围成封闭图形的面积分别别为S1,S2,则为定值.
证明如下:因为平移变换不改变面积的大小,
故可将曲线y=g(x)的对称中心平移至坐标原点,
因而不妨设g(x)=ax3+hx,且x1≠0,
类似(Ⅰ)(ⅱ)的计算可得
练习册系列答案
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