Question

已知直线y=kx-1与双曲线x²-y²=1的右支交于不同两点A，B，若另有一条直线l经过P（2，0）及线段AB的中点Q．
（1）求k的取值范围；
（2）求直线l在y轴上的截距b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）联立

y=kx-1 x2-y2=1

，化为（1-k²）x²+2kx-2=0，由于直线y=kx-1与双曲线x²-y²=1的右支交于不同两点A，B，可得1-k²≠0．由△=4k²+8（1-k²）＞0，1＜k，解得即可．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．线段AB的中点Q（x₀，y₀）．利用根与系数的关系、中点坐标公式、点斜式、二次函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）联立

y=kx-1 x2-y2=1

，化为（1-k²）x²+2kx-2=0，
∵直线y=kx-1与双曲线x²-y²=1的右支交于不同两点A，B，
∴1-k²≠0．由△=4k²+8（1-k²）＞0，1＜k，解得1＜k＜

2

．
∴k的取值范围是(1，

2

)．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．线段AB的中点Q（x₀，y₀）．
由（1）可得x1+x2=-

2k

1-k2

，
∴x0=

-k

1-k2

，y₀=kx₀-1=

-1

1-k2

．∴Q(

-k

1-k2

，

-1

1-k2

)．
∴kPQ=

0+ 1 1-k2

2+ k 1-k2

=

1

2-2k2+k

．
∴直线l的方程为y-0=

1

2-2k2+k

(x-2)，即y=

1

2+k-2k2

x-

2

2+k-2k2

．
∴直线l的在y轴上的截距b=

-2

2+k-2k2

=

1

(k- 1 4 )2- 5 4

，
∵1＜k＜

2

，∴当k∈(1，

1+ 17

4

)时，b∈（-∞，-2）；
当k∈(

1+ 17

4

，

2

)时，b∈(2+

2

，+∞)．

点评：本题综合考查了直线与双曲线的相交转化为方程联立得到△＞0及其根与系数的关系、直线斜率与渐近线的斜率关系、中点坐标公式、点斜式、二次函数的单调性等基础学生与基本方法，属于难题．