题目内容

一次数学考试共有10道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的．设计试卷时，安排前n道题使考生都能得出正确答案，安排8-n道题，每题得出正确答案的概率为 $数学公式$ ，安排最后两道题，每题得出正确答案的概率为 $数学公式$ ，且每题答对与否相互独立，同时规定：每题选对得5分，不选或选错得0分．
（1）当n=6时，
①分别求考生10道题全答对的概率和答对8道题的概率；
②问：考生答对几道题的概率最大，并求出最大值；
（2）要使考生所得分数的期望不小于40分，求n的最小值．

解：（1）①当n=6时，10道题全答对，即后四道题全答对的相互独立事件同时发生，
10道题题全答对的概率为 $\text{[math]}$ ，
答对8道题的概率为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +4• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
②答对题的个数X的可能值为6，7，8，9，10，其概率分别为：
P（X=6）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；P（X=7）=2• $\text{[math]}$ +2• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
P（X=8）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；又P（X=9）=1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
所以：答对7道题的概率最大为 $\text{[math]}$ ，
（2）当n=6时，分布列为：

分值x	30	35	40	45	50
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

得Ex=30× $\text{[math]}$ +35× $\text{[math]}$ +40× $\text{[math]}$ +45× $\text{[math]}$ +50× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =37.5，
同理可算得，当n=7时，Ex=40．所以n的最小值为7．
分析：（1）由题意当n=6时，①分别求考生10道题全答对，即后四道题全答对的相互独立事件同时发生，利用独立事件同时发生的概率公式即可求解．同理可求得答对8道题的概率，对于②答对题的个数X的可能值为6，7，8，9，10，利用随机变量的定义即可求出每一个值下对应的概率，
（2）当n=6时，求出其分布列，并利用其分布列求出期望，并求出该考生所得分数的期望不小于40分的值并比较即可．
点评：此题考查了学生准确理解题意及严谨的逻辑思维能力，主要考查了相互独立事件同时发生的概率及离散型随机变量的分布列及期望．