Question

18．由数列前n项和的极限知，当|x|＜1时，有$\frac{1}{1-x}$=1+x+x²+…+x^n-1+…，若函数f（x）在其定义域内可以表示为f（x）=a₁+a₂x+a₃x²+…+a_nx^n-1+…（其中a_n为x^n-1的系数），我们称a₁+a₂x+a₃x²+…+a_nx^n-1+…是f（x）的“多项式展开”，无穷数列{a_n}（n∈N^*）称为函数f（x）的展开数列，1+x+x²+…+x^n-1+..就是函数y=$\frac{1}{1-x}$（|x|＜1）的“多项式展开”，其展开数列的通项公式为a_n=1（n∈N^*）．
（1）试写出函数g（x）=$\frac{1}{1+x}$（|x|＜1）和h（x）=$\frac{x}{1+x}$（|x|＜1）的“多项式展开”；
（2）对于（1）中的函数g（x）和h（x），设f（x）=g（x）-h（x），写出f（x）的“多项式展开”，并求其展开数列的前n项和；
（3）已知函数y=$\frac{1}{1-2x+4{x}^{2}}$（|x|＜$\frac{1}{2}$）可以变形为y=$\frac{（1+2x）}{（1-2x+4{x}^{2}）（1+2x）}$=$\frac{1+2x}{1+（2x）^{3}}$，试写出该函数的“多项式展开”．

Answer 1

分析 $\frac{1}{1-x}$=1+x+x²+…+x^n-1+…，可以代入-x．或-2x³得出整式，是下面的所求解的式子．
（1）运用给出的公式得出g（x）=$\frac{1}{1+x}$=1-x+（-x）²+…+（-x）ⁿ，函数g（x）=$\frac{x}{1+x}$=x[1-x+（-x）²+…+（-x）ⁿ]+…，注意观察规律．
（2）求出f（x）=g（x）-h（x）=$\frac{1-x}{1+x}$=（1-x）×$\frac{1}{1+x}$，运用上述公式求解即可．
（3）y=$\frac{（1+2x）}{（1-2x+4{x}^{2}）（1+2x）}$=$\frac{1+2x}{1+（2x）^{3}}$=（1+2x）×$\frac{1}{1+（2{x}^{3}）}$，

解答 解：（1）∵函数g（x）=$\frac{1}{1+x}$（|x|＜1），
∴函数g（x）=$\frac{1}{1+x}$=1-x+（-x）²+…+（-x）ⁿ+…
即g（x）的多项式展开”为1-x+（-x）²+…+（-x）ⁿ+…
∵h（x）=$\frac{x}{1+x}$（|x|＜1），
∴函数g（x）=$\frac{x}{1+x}$=x[1-x+（-x）²+…+（-x）ⁿ]+…，
即h（x）的多项式展开”为x[1-x+（-x）²+…+（-x）ⁿ]+…
（2）f（x）=g（x）-h（x）=$\frac{1}{1+x}$$-\frac{x}{1+x}$=$\frac{1-x}{1+x}$=（1-x）[1-x+（-x）²+…+（-x）ⁿ]
=1+2（-x）+2（-x）²+…+2（-x）ⁿ+2（-x）ⁿ⁺¹+…，
即f（x）的多项式展开式：1+2（-x）+2（-x）²+…+2（-x）ⁿ+2（-x）ⁿ⁺¹+…∴a₁=1，a₂=2，a₃=2，…a_n=2，
∴其展开数列的前n项和S_n=1+2（n-1）=2n-1．
（3）y=$\frac{（1+2x）}{（1-2x+4{x}^{2}）（1+2x）}$=$\frac{1+2x}{1+（2x）^{3}}$=（1+2x）[1+（-2x³）+（-2x³）²+（-2x³）²+…+（-2x³）^n-1]+…
=（1+2x）[1+（-2x³）+（-2x³）²+（-2x³）³+…+（-2x³）^n-1]
=1+2x-2x³-4x⁴-2x⁶-4x⁷-2x⁹-4x¹⁰-…-2x^3（n-1）-4x^3n-2+…

点评 本题考查了任意恒成立的式子，求解证明有关的恒等式，注意整体代换，本题实际上考查的无穷第缩等比数列的前n项和的问题．