题目内容
某种商品的成本为5元/件,开始按8元/件销售,销售量为50件,为了获取最大利润,商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销.经试销发现:销售价每上涨1元每天销售量就减少10件;而降价后,日销售量Q(件)与实际销售价x(元)满足关系Q=
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(1)求总利润(利润=销售额-成本)y(元)与实际销售价x(件)的函数关系式;
(2)试问:当实际销售价为多少元时,总利润最大.
分析:(1)依据题意,得总利润(利润=销售额-成本)y(元)与实际销售价x(件)的函数关系式即可,它是一个分段函数的形式.(2)由(1)得:当5<x<7时,y=39(2x3-39x2+252x-535),接下来利用导数研究此函数的单调性,从而得出此函数的最大值即可.
解答:解:(1)据题意,得y=
(4分)
=
(5分)
(2)由(1)得:当5<x<7时,y=39(2x3-39x2+252x-535)
y'=234(x2-13x+42)=234(x-6)(x-7)
当5<x<6时,y'>0,y=f(x)为增函数
当6<x<7时,y'<0,y=f(x)为减函数
∴当x=6时,f(x)极大值=f(16)=195(8分)
当7≤x<8时,y=6(33-x)∈(150,156]
当x≥8时,y=-10(x-9)2+160
当x=9时,y极大=160(10分)
综上知:当x=6时,总利润最大,最大值为:195(12分)
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(2)由(1)得:当5<x<7时,y=39(2x3-39x2+252x-535)
y'=234(x2-13x+42)=234(x-6)(x-7)
当5<x<6时,y'>0,y=f(x)为增函数
当6<x<7时,y'<0,y=f(x)为减函数
∴当x=6时,f(x)极大值=f(16)=195(8分)
当7≤x<8时,y=6(33-x)∈(150,156]
当x≥8时,y=-10(x-9)2+160
当x=9时,y极大=160(10分)
综上知:当x=6时,总利润最大,最大值为:195(12分)
点评:本小题考查函数模型的选择与应用,属于中档题.本题主要考查了分段函数,以及函数与方程的思想,数形结合的思想.

练习册系列答案
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(本小题满分14分)某种商品的成本为5元/ 件,开始按8元/件销售,销售量为50件,为了获得最大利润,商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销。经试销发现:销售价每上涨1元每天销售量就减少10件;而降价后,日销售量Q(件)与实际销售价x(元)满足关系:
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(1)求总利润(利润=销售额-成本)y(元)与销售价x(件)的函数关系式;
(2)试问:当实际销售价为多少元时,总利润最大.