题目内容
已知集合A={x||x-a|<4},B={x|x2-3(a+1)x+2(3a+1)<0} (其中a∈R).
(1)若a=1,求A∩B;
(2)求使A⊆B的a的取值范围.
(1)若a=1,求A∩B;
(2)求使A⊆B的a的取值范围.
分析:(1)求解绝对值不等式化简集合A,求解二次不等式化简集合B,然后直接利用交集运算求解.
(2)化简集合A与集合B,然后分类讨论,利用A⊆B得到端点满足的不等式组,求解不等式组即可得到a的取值范围.
(2)化简集合A与集合B,然后分类讨论,利用A⊆B得到端点满足的不等式组,求解不等式组即可得到a的取值范围.
解答:解:(1)由于a=1,
则集合A={x||x-1|<4}={x|-4<x-1<4}={x|-3<x<5},
B={x|x2-6x+8<0}={x|2<x<4},
故A∩B={x|2<x<4};
(2)由于集合A={x||x-a|<4}=}={x|-4<x-a<4}={x|a-4<x<a+4},
B={x|x2-3(a+1)x+2(3a+1)<0}={x|[x-(3a+1)](x-2)<0}
①当3a+1>2,即a>
时,B=(2,3a+1)
由于A⊆B,则
解得a≥6;
②当3a+1<2,即a<
时,B=(3a+1,2)
由于A⊆B,则
解得a≤-
;
③当3a+1=2,即a=
时,B=∅
由于不满足A⊆B,则a≠
综上可知,使A⊆B的a的取值范围为(-∞,-
]∪[6,+∞).
则集合A={x||x-1|<4}={x|-4<x-1<4}={x|-3<x<5},
B={x|x2-6x+8<0}={x|2<x<4},
故A∩B={x|2<x<4};
(2)由于集合A={x||x-a|<4}=}={x|-4<x-a<4}={x|a-4<x<a+4},
B={x|x2-3(a+1)x+2(3a+1)<0}={x|[x-(3a+1)](x-2)<0}
①当3a+1>2,即a>
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由于A⊆B,则
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②当3a+1<2,即a<
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由于A⊆B,则
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③当3a+1=2,即a=
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3 |
由于不满足A⊆B,则a≠
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综上可知,使A⊆B的a的取值范围为(-∞,-
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点评:本题是基础题,考查集合的基本运算,不等式的解法,考查计算能力;还考查学生的等价转化能力,将所求的取值范围化为相应的不等式通过求解不等式解出答案.
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