Question

平面直角坐标系xoy中，直线x-y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为

6

（1）求圆O的方程；
（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；
（3）问是否存在斜率为2的直线m，使m被圆O截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点．若存在，写出直线m的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用点到直线的距离公式求出圆心O到直线x-y+1=0的距离，再由已知的弦长，利用垂径定理及勾股定理求出圆O的半径，写出圆O的方程即可；
（2）设出直线l的截距式方程，由直线l与圆相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关系式，表示出DE的平方，将得出的关系式代入，整理后利用基本不等式求出DE平方的最小值，得到此时a与b的值，即可确定出此时直线l的方程；
（2）存在斜率为2的直线m，使m被圆O截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，理由为：假设存在，设直线m方程为y=2x+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线m与圆O方程联立组成方程组，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，且得到根的判别式大于0，由以AB为直径的圆过原点，得到

OA

⊥

OB

，即数量积为0，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，整理后将表示出两根之和与两根之积代入，得到关于b的方程，求出方程的解得到b的值，经检验满足题意，即可得到直线m的方程．

解答：解：（1）∵圆心O到直线x-y+1=0的距离d=

1

2

，直线截圆所得的弦长为

6

，
∴圆O的半径r=

( 1 2 )2+( 6 2 )2

=

2

，
则圆O的方程为x²+y²=2；
（2）设直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），即bx+ay-ab=0，
∵直线l与圆O相切，∴圆心到直线的距离d=r，即

|ab|

a2+b2

=

2

，
整理得：

1

a2

+

1

b2

=

1

2

，
则DE²=a²+b²=2（a²+b²）•（

1

a2

+

1

b2

）=2（2+

b2

a2

+

a2

b2

）≥8，
当且仅当a=b=2时取等号，此时直线l方程为x+y-2=0；
（3）存在斜率为2的直线m，使m被圆O截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，理由为：
设存在斜率为2的直线m满足题意，
设直线m为y=2x+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立圆与直线解析式得：

x2+y2=2 y=2x+b

，
消去y得：5x²+4bx+b²-2=0，
依题意得：x₁+x₂=-

4b

5

，x₁x₂=

b2-2

5

，△＞0，
∵以AB为直径的圆经过原点，
∴

OA

⊥

OB

，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+（2x₁+b）（2x₂+b）=5x₁x₂+2b（x₁+x₂）+b²=5×

b2-2

5

+2b×（-

4b

5

）+b²=0，
整理得：b²=5，
解得：b=±

5

，经检验△＞0，符合题意，
则存在斜率为2的直线m满足题意，直线m为：y=2x±

5

．

点评：此题考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，涉及的知识有：韦达定理，平面向量的数量积运算法则，垂径定理，勾股定理，直线的截距式方程，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．