Question

根据下列条件解关于x的不等式x-

3a

x

+2a＞0．
（1）当a=1时；
（2）当a∈R时．

Answer 1

分析：（1）a=1时，不等式为：x-

3

x

+2＞0 即

x 2+2x-3

x

=

(x+3)(x-1)

x

＞0利用分式不等式的根轴法求解即得；
（2）原不等式等价于

x 2+2ax-3a

x

＞0，求出x²+2ax-3a的判别式，通过讨论判别式的情况，求出不等式的解解集．

解答：解：（1）a=1时，不等式为：x-

3

x

+2＞0 即

x 2+2x-3

x

=

(x+3)(x-1)

x

＞0
∴x∈（-3，0）∪（1，+∞）
（2）

x 2+2ax-3a

x

＞0∵x²+2ax-3a的△=4a（a+3）
①△＞0
即a＞0或a＜-3若a＞0时，原不等式的解集为：
（-a-

a 2+3a

，0）∪（

a 2+3a

-a，+∞）
若a＞-3，则其解为：（-∞，0）∪（-a-

a 2+3a

，

a 2+3a

-a）
②△=0即a=0或a=-3，a=0时，x＞0，a=-3时，x＞0且x≠3
③△＜0 即-3＜a＜0时，x＞0
综上知：当-3＜a≤0时，解集为（0，+∞）．当a=-3时，解集为{x|x＞0且x≠3}
当a＞0时，解集为（-a-

a 2+3a

，0）∪（

a 2+3a

-a，+∞），
a＜-3时．
解集为：（-∞，0）∪（-a-

a 2+3a

，

a 2+3a

-a）（7分）．

点评：解决分式不等式及高次不等式，一般先通过同解变形转化为二次不等式或一次不等式，然后再求解，含参数的不等式一般需要讨论．