Question

圆C：x²+y²-4x-5=0，直线l：kx-y+1=0．
（1）求证：不论实数k取什么值，直线l与圆C恒有两个不同交点；
（2）当k=2时，直线l与圆C相交于A，B两点，求A，B两点间的距离；
（3）求直线l被圆C截得的线段的最短长度，以及此时直线l的方程．

Answer 1

（1）联立方程，消去y得（1+k²）x²+（2k-4）x-4=0，
△=（2k-4）²+16（1+k²）＞0恒成立所以直线l与圆C恒有两个不同交点；
（2）把圆C的方程化为标准方程得：（x-2）²+y²=9，
∴圆心C坐标为（2，0），半径r=3，又k=2，所以直线l：2x-y+1=0，
圆心C到直线l的距离d=

|5|

5

=

5

，
根据勾股定理得：AB=2

32- ( 5 )2

=4；
（3）直线恒过圆内定点H（0，1），
当l⊥CH时，圆心到直线距离d最大，
在直角三角形OCH中，根据勾股定理得：d=

12+22

=

5

，
线段的最小长度AB=2

32-( 5 )2

=4，
∵k_CH=

1-0

0-2

=-

1

2

，∴k_l=2，
则直线l方程为2x-y+1=0．