题目内容

已知数列 $数学公式$ ，
（Ⅰ）计算a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）令b_n=a_n+1-a_n-1，求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅲ）设S_n、T_n分别为数列{a_n}、{b_n}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列 $数学公式$ 为等差数列？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

（Ⅰ）解：由题意，∵点（n，2a_n+1-a_n）在直线y=x上，
∴2a_n+1-a_n=n
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
同理， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）证明：∵b_n=a_n+1-a_n-1，2a_n+1-a_n=n
∴b_n+1=a_n+2-a_n+1-1= $\text{[math]}$ -a_n+1-1= $\text{[math]}$ （a_n+1-a_n-1）= $\text{[math]}$ b_n，
∵b₁=a₂-a₁-1=- $\text{[math]}$
∴数列{b_n}是以- $\text{[math]}$ 为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列；
（Ⅲ）解：存在λ=2，使数列 $\text{[math]}$ 是等差数列．
由（Ⅱ）知， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∵a_n+1=n-1-b_n=n-1+ $\text{[math]}$ ，∴a_n=n-2+ $\text{[math]}$ ，
∴S_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
由题意，要使数列 $\text{[math]}$ 是等差数列，则 $\text{[math]}$
∴2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ λ+ $\text{[math]}$ ，∴λ=2
当λ=2时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，数列是等差数列
∴当且仅当λ=2时，数列是等差数列．
分析：（Ⅰ）根据点（n，2a_n+1-a_n）在直线y=x上，可得2a_n+1-a_n=n，代入计算可得a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）利用b_n=a_n+1-a_n-1，及2a_n+1-a_n=n，即可证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅲ）求得数列的前三项，求得λ，再验证即可求得结论．
点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的定义，考查是否存在性问题的探究，考查学生的计算能力，综合性强．