Question

如图所示，过正方形ABCD的顶点A，作PA⊥平面AB－CD，设PA＝AB＝a．

(1)求二面角B－PC－D的大小；

(2)求平面PAB和平面PCD所成二面角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(1)如图，∵PA⊥平面ABCD，BD⊥AC，∴BD⊥PC，在平面PBC内，作BE⊥PC，E为垂足，连接DE，得PC⊥平面BED，从而DE⊥PC，即∠BED是二面角B－PC－D的平面角，在Rt△PAB中，由PA＝PB＝a，得PB＝．∵PA⊥平面ABCD，BC⊥AB，∴BC⊥PB．∴PC＝．在Rt△PBD中，BE＝；同理DE＝a．在△BDE中，根据余弦定理，cos∠BED＝．∴∠BED＝，此即为二面角B－PC－D的大小． 　　(2)过P作PQ∥AB，则PQ平面PAB．∵AB∥CD，∴PQ∥CD．PQ平面PCD，∴平面PAB∩平面PCD＝PQ．∵PA⊥AB，AB∥PQ，∴PA⊥PQ．∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥PD．∵PQ∥CD，∴PD⊥PQ．∴∠APD是平面PAB和PCD所成的平面角．∵PA＝AB＝AD，∴∠APD＝，即，平面PAB和PCD所成的二面角是．