Question

已知函数f(x)=ax²+a²x+2b-a³,当x∈(-2,6)时，其值为正，而当x∈(-∞,-2)∪(6,+∞）时，其值为负.
（1）求实数a,b的值及函数f(x)的表达式；
（2）设F（x）=-f(x)+4(k+1)x+2(6k-1),问k取何值时，函数F（x）的值恒为负值？

Answer 1

（1）f(x)=-4x²+16x+48 (2) k＜-2

(1)由题意可知-2和6是方程f(x)=0的两根，
∴,∴,
∴f(x)=-4x²+16x+48.
(2)F(x)=-(-4x²+16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1)
=kx²+4x-2.
当k=0时，F(x)=4x-2不恒为负值；当k≠0时，若F(x)的值恒为负值，
则有,解得k＜-2.