题目内容
（2013•许昌二模）如图，已知PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，∠APE的平分线和AE、BE分别交于点C，D（Ⅰ）求证：CE=DE；
（Ⅱ）求证：
| CA |
| CE |
| PE |
| PB |
分析：（Ⅰ）通过弦切角定理以及角的平分线，直接证明三角形是等腰三角形，即可证明CE=DE；
（Ⅱ）利用切割线定理以及角的平分线定理直接求证：
=
即可．
（Ⅱ）利用切割线定理以及角的平分线定理直接求证：
| CA |
| CE |
| PE |
| PB |
解答：证明：（Ⅰ）∵PE切圆O于E，∴∠PEB=∠A，
又∵PC平分∠APE，∴∠CPE=∠CPA，
∴∠PEB+∠CPE=∠A+∠CPA，
∴∠CDE=∠DCE，即CE=DE．
（Ⅱ）因为PC平分∠APE∴
=
，
又PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，
∴PE2=PB•PA，
即
=
∴
=
又∵PC平分∠APE，∴∠CPE=∠CPA，
∴∠PEB+∠CPE=∠A+∠CPA，
∴∠CDE=∠DCE，即CE=DE．
（Ⅱ）因为PC平分∠APE∴
| CA |
| CE |
| PA |
| PE |
又PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，
∴PE2=PB•PA，
即
| PA |
| PE |
| PE |
| PB |
∴
| CA |
| CE |
| PE |
| PB |
点评：本题考查圆的切割线定理，弦切角定理的应用，考查逻辑推理能力．
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