题目内容
(2011•成都一模)已知函数f(x)=x3+(4-a)x2-15x+a,a∈R.
(I)若点P(0,-2)在函数f(x)的图象上,求a的值和函数f(x)的极小值;
(II)若函数f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,求a的最大值.
(I)若点P(0,-2)在函数f(x)的图象上,求a的值和函数f(x)的极小值;
(II)若函数f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,求a的最大值.
分析:(I)根据点P(0,-2)在函数f(x)的图象上,可得a=-2,从而f(x)=x3+6x2-15x-2,利用导数确定函数的单调区间,从而可得函数f(x)的极小值;
(II)先求导函数f′(x)=3x2+2(4-a)x-15要使函数f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,则f′(x)≤0在(-1,1)上恒成立,从而可得不等式,解之即可得到a的最大值.
(II)先求导函数f′(x)=3x2+2(4-a)x-15要使函数f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,则f′(x)≤0在(-1,1)上恒成立,从而可得不等式,解之即可得到a的最大值.
解答:解:(I)∵点P(0,-2)在函数f(x)的图象上
∴a=-2
∴f(x)=x3+6x2-15x-2
∴f′(x)=3x2+12x-15=3(x-1)(x+5)
令f′(x)=0,解得x=-5或x=1
令f′(x)<0,解得-5<x<1,∴函数的单调减区间为(-5,1)
令f′(x)>0,解得x<-5或x>1,∴函数的单调增区间为(-∞,-5),(1,+∞)
∴x=1时,函数f(x)取到极小值为f(x)=1+6-15-2=-10
(II)f′(x)=3x2+2(4-a)x-15
要使函数f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,则f′(x)≤0在(-1,1)上恒成立
∴
∴
∴
∴-2≤a≤10
∴a的最大值为10.
∴a=-2
∴f(x)=x3+6x2-15x-2
∴f′(x)=3x2+12x-15=3(x-1)(x+5)
令f′(x)=0,解得x=-5或x=1
令f′(x)<0,解得-5<x<1,∴函数的单调减区间为(-5,1)
令f′(x)>0,解得x<-5或x>1,∴函数的单调增区间为(-∞,-5),(1,+∞)
∴x=1时,函数f(x)取到极小值为f(x)=1+6-15-2=-10
(II)f′(x)=3x2+2(4-a)x-15
要使函数f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,则f′(x)≤0在(-1,1)上恒成立
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∴-2≤a≤10
∴a的最大值为10.
点评:本题以函数为载体,考查导数的运用,考查函数的极值,同时考查学生分析解决问题的能力,解题时,将函数f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,转化为f′(x)≤0在(-1,1)上恒成立是关键.
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