题目内容

如图，函数 $数学公式$ 的图象与y轴交于点 $数学公式$ ，且在该点处切线的斜率为-2．
（1）求θ和ω的值；
（2）已知点 $数学公式$ ，点P是该函数图象上一点，点Q（x₀，y₀）是PA的中点，当 $数学公式$ ， $数学公式$ 时，求x₀的值．

解：（1）将x=0， $\text{[math]}$ 代入函数y=2cos（ωx+θ）得 $\text{[math]}$ ，
因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．
又因为y'=-2ωsin（ωx+θ），y'|_x=0=-2， $\text{[math]}$ ，所以ω=2，
因此 $\text{[math]}$ ．
（2）因为点 $\text{[math]}$ ，Q（x₀，y₀）是PA的中点， $\text{[math]}$ ，
所以点P的坐标为 $\text{[math]}$ ．
又因为点P在 $\text{[math]}$ 的图象上，所以 $\text{[math]}$ ．
因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，
从而得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
即 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据（0， $\text{[math]}$ ）以及θ的范围，求θ，利用导数和斜率的关系求ω的值；
（2）利用点 $\text{[math]}$ ，点Q（x₀，y₀）求出P，点P是该函数图象上一点，代入表达式，利用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求x₀的值．
点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，导数的运算，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．