题目内容
已知某长方体的棱长之和为14.8m,长方体底面的一边比另一边长0.5m,问高为多少时长方体体积最大?并求出最大体积是多少?
分析:先设容器底面短边长为xm,利用长方体的体积公式求得其容积表达式,再利用导数研究它的单调性,进而得出此函数的最大值即可.
解答:解:设容器底面短边长为xm,则另一边长为(x+0.5)m,
高为
=3.2-2x
由3.2-2x>0和x>0,得0<x<1.6,
设容器的容积为ym3,则有y=x(x+0.5)(3.2-2x)(0<x<1.6)
整理,得y=-2x3+2.2x2+1.6x,
所以y'=-6x2+4.4x+1.6(6分)
令y'=0,有-6x2+4.4x+1.6=0,即15x2-11x-4=0
解得x1=1,x2=-
(不合题意,舍去).
从而,在定义域(0,1,6)内只有在x=1处使y'=0.
因此,当x=1时y取得极大值,也是最大值,y最大值=-2+2.2+1.6=1.8,这时,高为3.2-2×1=1.2.
答:容器的高为1.2m时容积最大,最大容积为1.8m3
高为
14.8-4x-4(x+0.5) |
4 |
由3.2-2x>0和x>0,得0<x<1.6,
设容器的容积为ym3,则有y=x(x+0.5)(3.2-2x)(0<x<1.6)
整理,得y=-2x3+2.2x2+1.6x,
所以y'=-6x2+4.4x+1.6(6分)
令y'=0,有-6x2+4.4x+1.6=0,即15x2-11x-4=0
解得x1=1,x2=-
4 |
15 |
从而,在定义域(0,1,6)内只有在x=1处使y'=0.
因此,当x=1时y取得极大值,也是最大值,y最大值=-2+2.2+1.6=1.8,这时,高为3.2-2×1=1.2.
答:容器的高为1.2m时容积最大,最大容积为1.8m3
点评:本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力,建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识.
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