Question

（本题满分10分）已知曲线上的动点满足到点的距离比到直线 的距离小．
（1）求曲线的方程；
（2）动点在直线 上，过点作曲线的切线，切点分别为、．
（ⅰ）求证：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标；
（ⅱ）在直线上是否存在一点，使得为等边三角形（点也在直线上）？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

．解:（1） 曲线的方程         --------------3分
（2）（ⅰ）设，
整理得：
同理可得：
 
又

    --------------------------6分
（ⅱ）由（ⅰ）知中点，
当时，则的中垂线方程为
的中垂线与直线的交点


若为等边三角形，则

解得此时,
当时，经检验不存在满足条件的点
综上可得：满足条件的点存在，坐标为.----------------------10分

解析